Индуктивность контура и взаимные индуктивности. Линейные соотношения.

Мы уже обсуждали важное обстоятельство, которое можно эффективно использовать при изучении магнитных полей – это линейность связи полей и токов . В силу этого магнитный поток через контур поля, создаваемым током в этом же контуре при неизменной геометрии (размерах и форме контура) и неизменном окружении (среда не изменяет свои магнитные свойства) – линейная однородная функция тока: $\Phi = L \cdot I$. Величина $L$, равная отношению магнитного потока через контур к току в нем, называется индуктивностью (или коэффициентом самоиндукции). Единица измерения индуктивности в системе СИ – Гн (генри). Вспомним изучение магнитного поля очень характерного контура – соленоида . Магнитный поток через каждый виток соленоида, по которому течет ток с силой $I$, равен $B_{in} \cdot S$, где величина магнитной индукции внутри «тонкого и длинного» соленоида $B_{in} = \mu_0 \mu \frac{N}{l} I$, а $S$ – это площадь поперечного сечения соленоида. Этот поток пронизывает каждый виток соленоида, и поэтому полный поток через соленоид $\Phi = N \cdot B_{in} S = \mu_0 \mu N^2 \frac{S}{l} I \equiv L \cdot I$. Значит, индуктивность тонкого и длинного соленоида $L = \mu_0 \mu N^2 \frac{S}{l}$. Этот пример показывает нам, что в некоторых случаях индуктивность можно вычислить явно. Однако здесь это получилось довольно легко только потому, что мы использовали знание того, как устроено поле соленоида и знании о непрерывности магнитного потока – это позволило нам вычислить поток в самом удобном месте – во «внутреннем» сечении соленоида. Между тем магнитный поток является интегральной характеристикой поля (он вычисляется как сумма бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых), и при вычислении потока, пронизывающего даже относительно простой контур, мы сталкиваемся с вычислением «нешкольных» интегралов (как говорят математики, не вычисляющихся через элементарные функции). Например, для внешне очень простого контура – кругового контура с из провода с радиусом $r$ и радиусом средней линии $a$ на самом деле выражение для индуктивности описывается «неэлементарной» формулой. Это неудобно, и для практических приложений была подобрана простая приближенная формула для индуктивности такого кругового витка. Ее называют формулой Гровера , и она имеет вид $L_{в} \approx \mu_0 a \left[ \ln \left( \frac{8a}{r} \right) - \frac{7}{4} \right]$. Тем не менее, можно обнаружить, что мы знаем об индуктивности достаточно много. Во-первых, мы знаем, от чего она зависит. Как понятно из определения потока и формул для вычисления магнитной индукции (например, формулы закона Био-Савара-Лапласа), индуктивность зависит от геометрических параметров (формы и размеров) контура и магнитных свойств проницаемости окружающей среды. Важно обратить внимание, что она не связана напрямую с сопротивлением контура. Конечно, при заданном источнике тока магнитное поле этого тока будет заметно увеличиваться при уменьшении сопротивления (например, при уменьшении удельного сопротивления вещества контура при неизменных геометрических параметрах), но это увеличение будет происходить благодаря увеличению силы тока в контуре. При заданной величине силы тока для вычисления индукции и – на ее основе – магнитного потока знание сопротивления нам уже не нужно. Это естественное следствие линейности связи индукции поля и силы тока. Можно сделать вывод, что при одинаковых размерах и форме контуров и одинаковом магнитном окружении индуктивность контуров из разных немагнитных материалов одинаковы. Кроме того, опираясь на упомянутую линейность, мы можем находить связи между индуктивностями геометрически подобных контуров. Пример 1: Индуктивность некоторого контура в вакууме (вдали от тел, влияюших на магнитные поля) была измерена экспериментально и оказалась равна $L$. Затем был изготовлен контур такой же в точности формы, все геометрические размеры которого были ровно в два раза больше. Какова индуктивность этого контура? Решение: Для ответа на этот вопрос достаточно знать определение индуктивности как отношения величины магнитного потока через контур к силе текущего в контуре тока. Пусть все геометрические размеры некоторого контура изменяются в $k$ раз. Тогда расстояния между элементами контура и точками наблюдения в его плоскости увеличиваются в $k$ раз и так же увеличиваются длины элементов. В соответствии с законом Био-Савара-Лапласа, при той же величине силы тока величины магнитной индукции в «соответствующих» точках подобных контуров будут обратно пропорциональны расстояниям, то есть коэффициенту подобия: $B_2 = \frac{1}{k} B_1$. С другой стороны, при таком масштабном преобразовании площадь соответствующих «площадок» в окрестности каждой такой точке увеличится в $k^2$ раз. Поток есть произведение нормальной компоненты индукции на площадь, так что при той же силе тока отношение магнитных потоков через подобные контура будет равно коэффициенту подобия: $\Phi_2 = k \Phi_1$. Следовательно, такое же соотношение будет и у индуктивностей: $L_2 = k L_1$. Итак, у контура с вдвое увеличенными размера...