Сила Лоренца. Динамика зарядов в магнитном поле.: Лекция 5

Часть I: Действие поля на движущийся заряд. Общие свойства движение зарядов в магнитном поле.

image.png

При движении заряженного тела со скоростью \vec{v} в магнитном поле, индукция которого не зависит от времени, необходимо учитывать действующую со стороны поля на заряд силу – ее называют силой Лоренца, и она вычисляется по формуле \vec{F}_{L} = q [\vec{v} \times \vec{B}] . Это общее векторное выражение для силы Лоренца, использующая математическую конструкцию векторного произведения. При более простом описании (без векторного произведения) нам придется сформулировать целый ряд утверждений:

Сила Лоренца перпендикулярна вектору магнитной индукции.

Сила Лоренца перпендикулярна вектору скорости частицы.

Направление силы Лоренца для положительно заряженной частицы определяется правилом левой руки: «Если расположить левую руку так, что ее пальцы направлены по скорости частицы, а линии индукции магнитного поля входят в ладонь, то отогнутый под прямым углом большой палец покажет направление силы Лоренца». Для отрицательно заряженной частицы направление силы нужно изменить на противоположное.

Модуль силы Лоренца равен произведению модулей заряда, скорости, индукции магнитного поля в точке расположения частицы и синуса угла \alpha между векторами скорости и магнитной индукции: |F_{Л}| = |q| \cdot |\vec{v}| \cdot |\vec{B}| \cdot \sin(\alpha) .

Конструкция векторного произведения объединяет все эти свойства в одной формуле (чем она и удобна). Мы также должны понимать, что вместо правила левой руки можно использовать и другие мнемонические правила (например, «для частиц с положительным зарядом при взгляде навстречу силе Лоренца вращение от \vec{v} к \vec{B} должно происходить в положительном направлении вращения – против часовой стрелки»).

Есть один очень важный момент, связанный с использованием нашей формулы. Как мы знаем, в ньютоновской механике уравнение движения не должно изменяться при переходе из одной инерциальной Системы Отсчета (ИСО) в другую. Значит, ускорения тел и создающие их силы не должны изменяться при таком переходе. Но в нашей формуле сила Лоренца зависит от скорости заряда, которая явно зависит от выбора ИСО! На самом деле здесь нет никакого противоречия. Надо только во всем аккуратно разобраться.

Допустим, что мы описываем движение заряженной частицы в ИСО К, в которой есть только одно «силовое поле» - магнитное поле с индукцией \vec{B} . Тогда правильное уравнение движения частицы в этой ИСО: m \vec{a} = q [\vec{v} \times \vec{B}] . Перейдем теперь в ИСО К ' , движущуюся относительно К с постоянной скоростью \vec{u} . Конечно, ускорение частицы относительно новой ИСО такое же, как относительно исходной ( \vec{a} = \vec{a}' ), а скорости связаны соотношением \vec{v} = \vec{u} + \vec{v}' . Следовательно, правильное уравнение движения частицы в ИСО К ' имеет вид: m \vec{a}' = q [\vec{u} \times \vec{B}] + q [\vec{v}' \times \vec{B}] . В этом выражении тоже есть сила Лоренца, но еще появилось слагаемое, не содержащее скорости частицы в новой ИСО. Оно в точности соответствует уравнению движения заряда в электрическом поле \vec{E}' = [\vec{u} \times \vec{B}] и магнитном поле \vec{B}' = \vec{B} !

Здесь проявилась общая природа электрических и магнитных полей: на самом деле разбиение «единого» электромагнитного поля на электрическую и магнитную составляющие зависит от выбора ИСО, и при переходе между ИСО нужно пересчитывать напряженность электрического поля и индукцию магнитного и полученные выше формулы для «штрихованных» и – как раз и есть формулы пересчета для ньютоновской механики, справедливые при скоростях u \ll c . Значит, в формуле для силы Лоренца и скорость, и индукция магнитного поля зависят от выбора Системы Отсчета, но при этом описание движения заряженных частиц при учете электромагнитного взаимодействия одинаково во всех инерциальных СО.

l0.3

Пример 1: Частица с зарядом q > 0 и массой m движется в поле линейного провода. В начальный момент она находилась на расстоянии r_0 от провода и двигалась перпендикулярно проводу (от него) со скоростью v_0 . Запишите уравнения движения частицы в СО, связанной с проводом, и СО, движущейся вдоль провода со скоростью u .

image.png

Решение: Как мы знаем, в ИСО К, связанной с проводом, ток в проводе создает магнитное поле, линии индукции которого – окружности в плоскостях, перпендикулярных проводу, центры которых лежат на прямой, идущей вдоль провода. Если ввести в плоскости, проходящей через провод, Систему Координат, ось x которой направлена перпендикулярно проводу (и соответствующая координата отсчитывается от него), а ось y – вдоль провода, то мы заметим, что начальная скорость в нашей задаче направлена вдоль оси x (то есть в плоскости xy ), а вектор магнитной индукции в любой точке плоскости xy направлен перпендикулярно этой плоскости. Но это означает, что вектор силы Лоренца всегда будет лежать в плоскости xy , и при заданном направлении начальной скорости частица всегда будет двигаться в этой плоскости – составляющая скорости, ей перпендикулярная, всегда будет равна нулю. Кроме того, мы можем заметить, что x -компонента силы Лоренца будет пропорциональна y -компоненте скорости и наоборот. Величина индукции, как мы знаем, зависит от расстояния до провода, то есть – в выбранной СК – от x . При правильном определении направлений этих компонент силы мы придем к уравнениям движения в плоскости xy : \left\{\begin{array}{l}

m a_x = - q B(x) v_y \\

m a_y = + q B(x) v_x

\end{array}\right. , и здесь B(x) = \frac{\mu_0 I}{2 \pi x} . Начальное положение частицы и ее начальная скорость отвечают «начальным условиям» x(0) = r_0 , y(0) = 0 , v_x(0) = v_0 , и v_y(0) = 0 .

Перейдем теперь в ИСО К ' , движущуюся вдоль провода со скоростью u . Как мы выяснили, для правильной записи уравнений движения, в этой ИСО нам нужно к магнитному полю \vec{B}' = \vec{B} добавить электрическое поле \vec{E}' = [\vec{u} \times \vec{B}] . С учетом направления скорости ИСО и направления вектора индукции заметим, что \vec{E}' везде будет направлена к проводу перпендикулярно ему. Введем СК подобно тому, что было сделано а К, то есть ось x' направим от провода, а y' – параллельно ему, только начало этой СК будет, естественно, двигаться вдоль провода. Ясно, что начальная скорость частицы в этой ИСО будет иметь компоненты v'_x(0) = v_0 и v'_y(0) = -u , то есть все равно будет лежать в плоскости x'y' . Совместим в момент t = 0 начала отсчета СК, и тогда x'(0) = r_0 , y'(0) = 0 . В уравнения движения нужно добавить силу, действующую на заряд со стороны \vec{E}' , причем она направлена против оси x' , то есть движение частицы будет происходить в плоскости x'y' (что совершенно естественно, так как это практически то же движение, что было в К). Таким образом, новые уравнения движения: \left\{\begin{array}{l}

m a'_x = - q E'(x) - q B(x') v'_y \\

m a'_y = + q B(x') v'_x

\end{array}\right. . Здесь E'(x) = \frac{\mu_0 I u}{2 \pi x} . Уравнения выглядят разными, и полное их решение (в обеих ИСО) – очень непростое для «школьной» математики, но мы точно знаем, что на самом деле они описывают одно и то же движение. Решение второй системы уравнений – в точности решение первой, дополненное равномерным движением против оси y' со скоростью u .

У силы Лоренца есть одна очень важная особенность. Поскольку она всегда перпендикулярна скорости, то ее работа при любом перемещении заряда равна нулю. Таким образом, сила Лоренца не может изменить кинетическую энергию частицы – если других сил нет, то, независимо от конфигурации постоянного магнитного поля, скорость движущегося в нем пробного заряда меняется только по направлению, но не по величине. Обратим внимание: в электродинамике «пробный заряд» - это заряженное тело пренебрежимо малых размеров, собственным полем которого можно пренебречь. В том числе мы пренебрегаем полем излучения – на самом деле любой ускоренно движущийся заряд испускает электромагнитные волны, то есть теряет механическую энергию на это излучение. Только пренебрежение этим эффектом позволяет нам говорить о сохранении механической энергии движущегося с ускорением заряда! Впрочем, для нерелятивистких (то есть движущихся со скоростями, много меньшими скорости света в вакууме) зарядов это приближение оправданно.

Пример 2: В зазоре между торцами электромагнита, у сердечника которого поперечное сечение имеет форму квадрата, а средняя линия по форме близка к окружности с радиусом намного больше длины стороны этого квадрата. Протон влетел в зазор с начальной скоростью v_0 = 2 км/с и вылетел из него спустя время t = 5 мкс. Определите путь протона внутри зазора.

Решение: Мы знаем, что при движении заряженной частицы в любом постоянном магнитном поле модуль скорости частицы не изменяется (если можно пренебречь потерями энергии частиц на излучение). Наш протон при скорости 2 км/с явно можно считать нерелятивистским, так что пренебрежение потерями на излучение корректно. Значит, путь можно посчитать, перемножив модуль скорости на время движения: s \approx v_0 t = 1 см.