Примеры расчета магнитных полей и сил Ампера.: Часть 1

Задача 1

Условие

По трем прямым параллельным проводам, находящимся на одинаковом расстоянии а друг от друга, текут токи: по двум - сонаправленые токи с силами I и 2 I , а по третьему суммарный ток 3 I течет в обратном направлении. Определить величину магнитной индукции в точке, находящейся на одинаковом расстоянии от всех трех проводов.

Решение

Изобразим вектора индукции полей, создаваемых каждым из трех токов, в плоскости, перпендикулярной проводам. Центры сечений проводов образуют равносторонний треугольник, а точка наблюдения находится в его центре (см. рисунок). Вектора индукции направлены по касательным к окружностям с центром на оси проводов, причем для первого и второго токов (токи текут «на нас») - в положительном направлении (против часовой стрелки), а для третьего (течет «от нас») - в отрицательном (по часовой стрелке). Величины индукции полей от отдельных токов (расстояние от каждого тока до точки наблюдения одинаково и равно радиусу окружности, описанной около треугольника, образованного центрами токов r=a / \sqrt{3} ) равны B_{1}=\frac{\mu_{0} I}{2 \pi r}=\frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\mu_{0} I}{\pi a}, B_{2}=\sqrt{3} \frac{\mu_{0} I}{\pi a} и B_{3}=\frac{3 \sqrt{3}}{2} \frac{\mu_{0} I}{\pi a} . По принципу суперпозиции \vec{B}=\vec{B}_{1}+\vec{B}_{2}+\vec{B}_{3} . Выполним сложение векторов по их проекциям на направления вдоль линии, соединяющей токи 2 I и I , и перпендикулярно ей:

\left\{\begin{array}{c}

B_{\|}=\frac{3 \sqrt{3}}{2} \frac{\mu_{0} I}{\pi a}+\sqrt{3} \frac{\mu_{0} I}{\pi a} \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\mu_{0} I}{\pi a} \frac{1}{2}=\frac{9 \sqrt{3}}{4} \frac{\mu_{0} I}{\pi a} \\

B_{\perp}=\sqrt{3} \frac{\mu_{0} I}{\pi a} \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\mu_{0} I}{\pi a} \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{4} \frac{\mu_{0} I}{\pi a}

\end{array}\right\}|\vec{B}|=\sqrt{B_{\|}^{2}+B_{\perp}^{2}}=\frac{3 \sqrt{7}}{2} \frac{\mu_{0} I}{\pi a} . image.png

Ответ |\vec{B}|=\frac{3 \sqrt{7}}{2} \frac{\mu_{0} I}{\pi a} .

Задача 2

Условие

Найти величину индукции магнитного поля в точке P , создаваемого горизонтальным током I в длинном прямолинейном проводе с «петлей» в форме окружности радиуса a в средней его части. Плоскость «петли» также горизонтальна. Точка P расположена в центре петли.

Решение

image.png

Как видно из рисунка, провод с петлей можно рассматривать как два контура: линейный и круговой, в которых текут одинаковые токи. Коме того, ясно, что вектора индукции в точке наблюдения (для линейного тока - точка на расстоянии a от провода, для кольцевого она является центром окружности, по которой течет ток) оказываются сонаправлены (оба вектора на рисунке будут направлены «от нас»). Поэтому суммарная величина индукции равна сумме величин индукции линейного и кольцевого тока, для которых нам известны необходимые формулы: |\vec{B}|=\frac{\mu_{0} I}{2 \pi a}+\frac{\mu_{0} I}{2 a}=\frac{\pi+1}{2 \pi} \frac{\mu_{0} I}{a} .

Ответ |\vec{B}|=\frac{\pi+1}{2 \pi} \frac{\mu_{0} I}{a} .

Задача 3

Условие

Два кольца с радиусами R=5 см и 2 R=10 см расположены соосно в горизонтальной плоскости, и в них созданы противоположно направленные токи с одинаковой силой I=5 А. В этой же плоскости через центр колец проходит прямолинейный провод, по которому течет ток с силой I^{\prime}=0,01 А. Этот провод жесткий, но его участок длиной l=2 мм (середина которого в отсутствие тока находилось бы точно в этом центре) - деформируемый (коэффициент жесткости тоже «большой», но намного меньше, чем у аналогичных участков в других частях провода). Найдите величину силы, действующей на этот участок со стороны магнитного поля колец.

Решение

image.png

Ясно, что «немного деформируемый» участок линейного провода имеет очень малые размеры, и поэтому будем считать индукцию магнитного поля колец в пределах этого участка почти постоянной и равной ее значения в центре колец. В соответствии с принципом суперпозиции находим, что эта индукция направлена перпендикулярно плоскости рисунка «на нас» (по направлению поля кольца меньшего радиуса, так как его поле сильнее, чем у кольца большего радиуса). Величина магнитной индукции |\vec{B}|=\frac{\mu_{0} I}{2 R}-\frac{\mu_{0} I}{2 \cdot 2 R}=\frac{\mu_{0} I}{4 R} . Теперь выясним, повлияют ли малые деформации участка на величину силы Ампера. Рассмотрим «очень малый» кусочек немного изогнутого участка провода \Delta l . Ясно, что он изгибается в плоскости рисунка (силы Ампера перпендикулярны вектору индукции и лежат в этой плоскости), и что он симметричен относительно своего срединного перпендикуляра (его концы закреплены симметрично). Поэтому сумма параллельных жесткой части провода составляющих сил Ампера, действующих на все малы кусочки изогнутого участка, должна равняться нулю, а все их перпендикулярные составляющие просто складываются. Сила Ампера перпендикулярна току, так что угол \alpha между силой Ампера и срединным перпендикуляром равен углу между направлением малого кусочка и жесткой части провода, то есть:

image.png

F_{A}=\sum \Delta F_{A \perp}=I^{\prime} B \sum \Delta l \cdot \cos (\alpha)=I^{\prime} B l=\frac{\mu_{0} I I^{\prime}}{4 R} l \approx 0,628 нН . Как видно, поскольку мы получили, что сила пропорциональна сумме проекций участков изогнутого участка провода на направление его жесткой части, а она равна расстоянию между точками закрепления деформируемого участка, то на самом деле деформации не повлияли на величину силы Ампера. Сама сила оказалась очень маленькой - меньше наноньютона!

Ответ F_{A}=\frac{\mu_{0} I I^{\prime}}{4 R} l \approx 0,628 нН.

В горизонтальной плоскости расположено проволочное кольцо, по которому течет электрический ток. На рисунке стрелкой указано направление этого тока (при взгляде «сверху»). Выберите из предложенных вариантов правильное утверждение о векторе магнитной индукции в центре кольца.

Рисунок - к условию задачи

В ответе укажите номер выбранного варианта.

1) Вектор магнитной индукции направлен горизонтально влево (по рисунку).

2) Вектор магнитной индукции направлен вертикально вверх.

3) Вектор магнитной индукции направлен вертикально вниз.

4) Вектор магнитной индукции направлен горизонтально «на нас».

5) Вектор магнитной индукции равен нулю.

По очень длинному тонкому прямому проводу, натянутому в воздухе, течет постоянный ток. Магнитная индукция на расстоянии 10 см от провода равна 2 мкТл. Провод поместили внутри длинного цилиндра (по его оси) радиусом 25 см, изготовленного из магнетика с магнитной проницаемостью \mu = 20 . Ток в проводе остался прежним. Какова теперь величина магнитной индукции на расстоянии 20 см от провода? Ответ запишите в мкТл, с точностью до целого значения.