Равновесие контура в магнитном поле.: Часть 1

Часть I: Сила Ампера. «Жесткий» контур в однородном поле.

Магнитное поле действует на контур с током локально, то есть для изучения полного действия нам нужно разбить контур на «малые» участки и изучить действие поля на каждый участок. Силу, с которой магнитное поле действует на участок контура, заданный вектором \Delta \vec{l} , по которому течет электрический ток с силой I , удобно записывать с помощью конструкции векторного произведения:

\Delta \vec{F}_{A}=I[\Delta \vec{l} \times \vec{B}]. Здесь \vec{B} - вектор магнитной индукции в точке расположения нашего «малого» участка. Модуль этой силы равен \Delta F_{A}=I B \Delta l \cdot \sin (\alpha) (где \alpha - угол между участком провода и вектором индукции), а направлена эта сила перпендикулярно и участку провода, и вектору магнитной индукции, в соответствии с правилом левой руки:

Если направить пальцы левой руки вдоль провода «по току» так, чтобы линии индукции магнитного поля входили в ладонь этой руки, то отогнутый под прямым углом большой палец покажет направление силь Ампера.

В принципе существуют и другие мнемонические правила для определения направления силы Ампера - нужно выучить одно из них и научиться им пользоваться, или научиться пользоваться конструкцией векторного произведения.

Для определения полной силы нужно сложить все силы, действующие на элементы контура. И здесь выполнение такого сложение зависит в первую очередь от двух обстоятельств.

Во-первых - имеем мы дело с

a) однородным (одинаковым во всех точках изучаемой области) полем;

или

б) неоднородным полем.

Во-вторых - может ли изменяться форма контура под действием поля, то есть является контур

1) «жестким» (силы упругости настолько велики, что не позволяют создать заметную деформацию контура);

или

2) «гибким» (силы упругости, возникающие при изгибе проводов, очень малы, и форма контура определяется равновесием всех прочих сил, действующих на его элементы).

Конечно, могут быть «промежуточные» случаи, когда контур может изгибаться, но для этого нужны внешние силы. Но такие случаи практически никогда не рассматриваются в школьных задачах (они намного сложнее для анализа), и мы их рассматривать не будем.

В случае ( a ), то есть для контура в однородном поле, можно сразу сделать важный общий вывод. Для любого замкнутого неразветвленного контура (у которого во всех элементах сила тока одинакова) в однородном поле полная сила

\vec{F}_{A}=\sum \Delta \vec{F}_{A}=I\left[\left(\sum \Delta \vec{l}\right) \times \vec{B}\right]=0, поскольку для такого контура \sum \Delta \vec{l}=0 . Это, разумеется, не означает, что однородное поле на замкнутый неразветвленный контур не действует: равенство нулю полной силы означает лишь, что ускорение центра масс контура равно нулю, и в некоторой инерциальной системе отсчета центр масс контура покоится. Ведь если, например, будет отличен от нуля суммарный момент сил Ампера, то контур может вращаться вокруг оси, проходящей через центр масс.

Пример 1: Рассмотрим случай (1a) - жесткий контур в однородном поле. Пусть наш контур имеет форму квадрата со стороной l , его удерживают в невесомости в области, где создано однородное магнитное поле с индукцией B , линии которой идут в плоскости контура. Других тел рядом нет. Найти суммарную силу и суммарный момент сил Ампера, действующих на контур. Как будет двигаться контур, если его аккуратно отпустить?

Решение: Ясно, что суммарная сила, действующая на контур, будет равна нулю. Полезно посмотреть, как получается этот самый ноль из всех сил Ампера, действующих на участки контура. Занумеруем стороны квадрата «снизу по рисунку» против часовой стрелки.

image.png

Поскольку поле однородно, можно вычислять силу Ампера, действующую на каждую из его сторон - ведь для каждой из сторон не меняется ни сила тока, ни величина индукции, ни угол между током и вектором индукции. Как видно, силы Ампера, действующие на стороны 1 и 3 , равны нулю - угол между током и вектором индукции равен 0^{\circ} или 180^{\circ} , а синус этих углов равен нулю. Силы Ампера, действующие на стороны 2 и 4 , направлены перпендикулярно току и вектору индукции, то есть в разные стороны перпендикулярно плоскости контура (см. рисунок). Величина этих сил одинакова и равна F_{A 2}=F_{A 4}=I B l . Момент такой пары сил равен величине силы, умноженной на расстояние между линиями их действия, то есть M_{A}=I B l \cdot l=I B l^{2} . Ясно, что силы, удерживающие контур на месте, должны иметь нулевую сумму и создавать противоположный момент.

image.png

Если контур аккуратно отпустить, то его центр масс останется на месте (ведь суммарная сила останется равной нулю) , а ненулевой момент заставит контур вращаться вокруг оси, проходящей через центр масс параллельно сторонам 2 и 4. К моменту, когда плоскость контура повернется на угол \alpha , расстояние между линиями действия \vec{F}_{A 2} и \vec{F}_{A 4} уменьшится до l \cdot \cos (\alpha) , и их суммарный момент станет равен M_{A}(\alpha)=I B l^{2} \cdot \cos (\alpha) . Силы Ампера, действующие на стороны 1 и 3 , станут ненулевыми - их модули станут равны направлены в противоположные стороны, «растягивая» контур вдоль оси вращения. Ясно, что их моменты относительно оси вращения будут равны нулю. Таким образом, суммарный момент будет, уменьшаясь по величине, разгонять вращение в том же направлении вплоть до \alpha=90^{\circ} , при котором момент обратится в ноль, а затем момент сменит знак и будет уже тормозить вращение. Ясно (как из формул, так и из симметрии системы), что он остановиться в точке \alpha=180^{\circ} , то есть перевернувшись по отношению к полю, а затем начнет обратное движение. Мы также заметили, что положение равновесия плоского контура в однородном магнитном поле соответствует положению контура, в котором его плоскость перпендикулярна линиям магнитной индукции.

Важно также отметить, что в этом положении силы Ампера всегда перпендикулярны «растягивают» либо «сжимают» контур. Если силы Ампера в положении равновесия растягивают контур, то при малом отклонении от этого положения момент сил Ампера будет возвращать контур в положение равновесие, то есть такое равновесие будет устойчиво. Если они сжимают контур, то при малом отклонении от положения равновесия эти силы еще больше будут увеличивать отклонение - равновесие будет неустойчивым.

image.png

Можно сделать общий вывод: в однородном поле силы Ампера «стремятся» развернуть плоский неразветвленный контур так, чтобы его плоскость была перпендикулярна линиям индукции, и эти силы растягивали контур.

Квадратная рамка с током расположена во внешнем однородном магнитном поле в плоскости линий магнитной индукции, как показано на рисунке. Направление тока показано стрелками. Куда направлена относительно рисунка сила Ампера, действующая на сторону ab этой рамки со стороны внешнего магнитного поля?

Рисунок - к описанию задачи

В ответе укажите номер правильного варианта ответа:

1. вверх;

2. вниз;

3. влево;

4. вправо;

5. от наблюдателя;

6. к наблюдателю.

Электрическая цепь, состоящая из четырех прямолинейных проводников и источника постоянного тока, находится во внешнем однородном магнитном поле, вектор индукции которого направлен влево параллельно проводникам 2-1 и 4-1 и перпендикулярно проводникам 1-2 и 3-4, как показано на рисунке. Куда направлена относительно рисунка сила Ампера, действующая на проводник 1-2 со стороны внешнего магнитного поля? В ответе укажите номер правильного варианта ответа:

Рисунок - к условию задачи

1. вверх;

2. вниз;

3. влево;

4. вправо;

5. от наблюдателя;

6. к наблюдателю.

В схеме из упражнения 2 ЭДС источника равна 4,5 В, полное сопротивление контура равно 3 Ома, длина проводника 1-2 равна 40 см. Найдите величину силы Ампера, действующей на проводник 1-2 со стороны внешнего магнитного поля, индукция которого равна 0,1 Тл. Ответ запишите в миллиньютонах, с точностью до целого значения.

В схеме из упражнения 2 ЭДС источника равна 4,5 В, полное сопротивление контура равно 3 Ома, длина проводников 1-2 и 3-4 равна 40 см, а проводники 2-3 и 4-1 вдвое длиннее. Найдите величину силы Ампера, действующей на весь контур со стороны внешнего магнитного поля, индукция которого равна 0,1 Тл. Ответ запишите в миллиньютонах.