Равновесие контура в магнитном поле.: Часть 5

Часть V: Контур с током в неоднородном поле.

Наконец, обратимся к случаю неоднородного магнитного поля. Ясно, что теперь доказательство равенства нулю суммы всех сил Ампера, действующих на замкнутый контур, не будет работать - в нем мы использовали одинаковость вектора индукции в разных точках контура. Значит, в неоднородном поле суммарная сила Ампера, действующая на замкнутый контур с током, может быть отлична от нуля. Задачи, доступные для решения в рамках «школьных» подходов - это обычно задачи типа 1б («жесткий» контур в неоднородном поле). Задачи типа 2б (гибкий контур в переменном поле) обычно слишком сложны.

Для задач 1б интересно попробовать еще до решения «предсказать» результат действия поля на контур. Ясно, что ненулевая сила Ампера в отсутствие других сил приведет к движению контура. Из того, что мы уже знаем, следует, что это движение будет носить более упорядоченный характер, если плоскость контура будет перпендикулярна линиям индукции, и силы Ампера будут «растягивать» контур (иначе при малейшем отклонении плоскости от перпендикуляра в линиям индукции он начнет поворачиваться, то есть движение окажется сложной комбинацией поступательного и вращательного движений). Но в этом случае нам также ясно, что силы Ампера будет больше по величине с той стороны контура, где величина магнитной индукции больше, и, следовательно, равнодействующая всех сил Ампера будет «затягивать» контур туда, где поле сильнее. То есть общее действие неоднородного магнитного поля на контур с током состоит в стремлении поля развернуть контур перпендикулярно линиям индукции и передвинуть его в направлении увеличения модуля магнитной индукции. Разберем конкретный пример.

Пример 5: Поместим жесткий квадратный контур размером l \times l с массой m на гладкую горизонтальную твердую поверхность и будем поддерживать в нем постоянный ток с силой I. В области пространства, в которой находится контур, создадим магнитное поле, которое во всех точках направлено «вверх» по вертикальной оси z , а величина магнитной индукции линейно зависит от координаты x: \vec{B}=\vec{e}_{z} \cdot B_{0} \cdot(1+\beta \cdot x) , причем координатные оси x и y направлены вдоль смежных сторон квадрата (см. рисунок). Контур удерживают неподвижным, а затем аккуратно отпускают. Опишите его движение после этого.

image.png

Решение: Нетрудно заметить, что силы Ампера, действующие на каждую из сторон квадрата, действуют в плоскости ху (плоскости контура) так, что они «растягивают» квадрат. Суммарный момент этих сил равен нулю, и при малых отклонениях плоскости контура от ху силы Ампера возвращают его к ней. Таким образом, контур не будет вращаться - он будет двигаться поступательно. Занумеруем стороны квадрата (1-4) «снизу» по ходу тока. Разбив стороны 1 и 3 на малые участки, замечаем, что все такие участки образуют «пары» расположенных напротив друг друга (с одинаковыми значениями x ). Тогда величины магнитной индукции одинаковы для участков пары, как и направление вектора индукции, а направления токов противоположны. Поэтому и силы Ампера, действующие на «парные» участки, равны по величине и противоположны по направлению. Следовательно, сумма сил Ампера, действующих на стороны 1 и 3 , равна нулю: \vec{F}_{A 1}+\vec{F}_{A 3}=0 .

Сила Ампера, действующие на стороны 2 и 4 , тоже противоположны по направлению. Но они не равны по величине, так как величина индукции в месте их расположения различна: в положении, в котором координата стороны 4 x_{4} \equiv x \Rightarrow x_{2}=x+l , результирующая сила равна

\vec{F}_{A 2}+\vec{F}_{A 4}=I l \cdot B(x+l) \cdot \vec{e}_{x}-I l \cdot B(x) \cdot \vec{e}_{x}=\beta I B_{0} I^{2} \cdot \vec{e}_{x} . Эта сила постоянна по величине и по направлению, так что контур будет двигаться поступательно и равноускоренно в направлении оси x . Например, легко заметить, что закон движения центра квадрата при заданных начальных условиях

\left\{\begin{array}{c}

x_{0}(t)=\frac{l}{2}+\frac{a}{2} t^{2} \\

y_{0}(t) \equiv \frac{l}{2}

\end{array},\right. где величина ускорения a=\frac{\beta I B_{0} I^{2}}{m} . Как мы видим, поведение контура соответствует общему описанию: он не вращается (поскольку его плоскость с самого начала перпендикулярна линиям магнитной индукции) и разгоняется в направлении увеличения модуля \vec{B} .

Жесткий квадратный контур размером 20 \times 20 см с массой 10 г лежит неподвижно на горизонтальной шероховатой поверхности. По нему течет постоянный ток с силой 2 А. В области пространства, в которой находится контур, создано магнитное поле, которое во всех точках направлено «вверх» по вертикальной оси z, а величина магнитной индукции линейно зависит от координаты x: \vec{B} = \vec{e}_z \cdot B_0 \cdot (1 - \beta \cdot x) , причем координатные оси x и y направлены вдоль смежных сторон квадрата, величина B_0 = 0{,}1 Тл, а величина \beta = 2{,}5 м ^{-1} . При какой минимальной величине коэффициента трения между контуром и поверхностью такое возможно? Ускорение свободного падения считайте примерно равным 10 м/с ^2 . Ответ запишите с точностью до десятых.