Равновесие контура в магнитном поле.: Часть 4

Часть IV: Гибкий контур с током в поле тяжести и магнитном поле.

Любопытный вопрос: как изменится ситуация для гибкого контура, если, помимо сил Ампера со стороны магнитного поля, на него будут действовать также и другие силы. Конечно, при этом наши выводы о том, что сила натяжения постоянна, а свободные участки провода - дуги окружностей, станут неверными. И вообще задача в общем виде становится совсем «нешкольной». Для ее полного решения нужно использовать методы математического анализа. Однако некоторые интересные выводы можно сделать, используя не такие сложные рассуждения. В первую очередь нужно понять важное физическое свойство таких задач: поскольку в отсутствие других сил гибкий провод натянут однородно, то изменение силы натяжения вдоль провода определяется именно этими «другими» силами и может вовсе не зависеть от магнитного поля. Таким образом, силы Лоренца со стороны однородного магнитного поля стремятся создать равномерное натяжение провода и придать ему форму дуги окружности, а другие силы изменяют натяжение для разных участков провода и искажают его форму, изменяя радиус кривизны. Значит, для того, чтобы изучить равновесное состояние провода наиболее простым образом, нужно «раздельно» учитывать влияние магнитного поля и «других» сил. Изучим такой подход на примере массивного гибкого провода в однородном магнитном поле с индукцией \vec{B} и в однородном поле тяжести с ускорением свободного падения \vec{g} .

Пример 4: Участок гибкого провода массой m и длиной L подвешен так, что его концы закреплены на одинаковой высоте (см.рисунок) на расстоянии D друг от друга. Провод находится в однородном горизонтальном магнитном поле с индукцией B , и по нему течёт ток I . Известно, что глубина провиса провода в состоянии равновесия равна h . Найти разность сил натяжения в точке подвеса C и в нижней точке провода A .

image.png

Решение: В решении этой задачи можно эффективно использовать знаменитый технический прием - приниип виртуальных перемещений. Он основан на достаточно простом соображении: если некое тело (любой формы и размеров) находится в равновесии, то сумма приложенных к нему сил и сумма моментов этих сил равны нулю. Работа внешних сил на любом бесконечно малом смещении тела из положения равновесия связана линейно с силами (или - при вращательном движении - с моментами сил), и поэтому она равна нулю. Интересно, что это требование должно выполняться не только на «настоящих» (реальных) перемещениях тел, но и на «выдуманных» (виртуальных) перемещениях из положения равновесия. Применим этот принцип к отрезку A C (правой половине) провода, находящемуся в положении равновесия. На него действуют: силы натяжения провода на его концах (для гибкого провода они всегда направлены вдоль него) T_{A} и T_{C} , силы Ампера со стороны магнитного поля и сила тяжести. Рассмотрим смещение провода вдоль себя от C к A на малое расстояние \Delta s . Сумма работ всех сил на таком смещении равна нулю. Работа силы T_{A} равна +T_{A} \Delta s (эта сила направлена по смещению), работа силы T_{C} равна -T_{C} \Delta s (она направлена против перемещения). Силы Ампера в каждой точке перпендикулярны проводу, то есть перпендикулярны смещению, и их работа равна нулю. Наконец, сила тяжести потенциальна, и ее работа равна изменению потенциальной энергии, взятому со знаком «минус». Придуманное нами смещение с точки зрения изменения распределения масс провода эквивалентно «отрезанию» кусочка провода длиной \Delta s (и, соответственно, массой \Delta m=\frac{m}{L} \Delta s ) от верхнего конца провода и переносу его к нижнему концу. Следовательно, работа сил тяжести A_{g}=+\Delta m \cdot g h=+\frac{m g h}{L} \Delta s . Итак, мы приходим к уравнению

+T_{A} \Delta s-T_{C} \Delta s+0+\frac{m g h}{L} \Delta s=\Delta s \cdot\left(T_{A}+\frac{m g h}{L}-T_{C}\right)=0 \Rightarrow T_{C}-T_{A}=m g \frac{h}{L} . Как мы видим, изменение силы натяжения действительно создается только силой тяжести и не зависит от индукции магнитного поля. Более того, можно понять, что сила натяжения провода в любой точке на высоте y \leq h над точкой A записывается в виде

T(y)=T_{A}+m g \frac{y}{L}, то есть она растет с высотой линейно «снизу вверх». Форма провода в этом случае описывается довольно сложными выражениями, вывод которых выходит за рамки школьной программы.

Участок гибкого провода длиной 50 см подвешен так, что его концы закреплены на горизонтальном потолке. Провод, по которому течет ток, находится в однородном горизонтальном магнитном поле, вектор магнитной индукции которого перпендикулярен плоскости подвеса провода. Известно, что глубина провиса провода в состоянии равновесия равна 30 см, причем плоскость провода вертикальна. Сила натяжения провода в нижней его точке равна 0,8 Н, а в точках подвеса - по 1,4 Н. Чему равна масса провода? Ускорение свободного падения считайте примерно равным 10 м/с^{2} . Ответ запишите в килограммах, с точностью до десятых.