Изучение продольного дрейфа и ларморовского вращения: Семинар 3

Задача 1

Условие

image.png

В точке вблизи очень длинного прямолинейного провода с током располагается «жерло» ионной пушки, которая выстреливает ионы в направлении вдоль провода со скоростью v_0 = 2 км/с . Из-за влияния магнитного поля через некоторое время вектор скорости иона повернулся на 60^\circ . Какой стала в этот момент величина проекции скорости иона на ось x , направленную вдоль провода?

Решение

С одной стороны, эта задача посвящена достаточно сложному движению – магнитное поле линейного тока неоднородно, и изменение направления скорости происходит по достаточно сложному закону. Но на самом деле решается она просто. Нужно вспомнить основное свойство любого движения заряженной частицы в магнитном поле: поскольку действующая на ион со стороны магнитного поля сила Лоренца всегда перпендикулярна скорости, то она не совершает работу, и кинетическая энергия иона (а, значит, и модуль его скорости) не изменяется. Кроме того, нам должно быть ясно, что магнитное поле линейного тока симметрично относительно вращений вокруг оси x – его линии индукции представляют собой концентрические окружности с центрами на этой оси, плоскости которых перпендикулярны ей. Начальная скорость направлена вдоль тока, и сила Лоренца в начальный момент времени лежит в плоскости, проходящей через ось x и точку старта. Значит, ион не начнет выходить из этой плоскости, и в последующие моменты времени ситуация не изменится – ион будет двигаться именно в этой плоскости. Значит, в нужный нам момент времени \alpha – это угол между вектором скорости и осью x . Таким образом: v_x = v_0 \cdot \cos(\alpha) = 1 км/с .

Ответ 1 км/с.

Задача 2

Условие

Электрон влетает в зазор между торцами тороидального электромагнита в точке А со скоростью v = 2 км/с под углов 60^\circ к линиям индукции магнитного поля, которое в зазоре можно считать однородным и перпендикулярным к плоскостям торцов электромагнита. Величина индукции в зазоре B = 2 Тл , точка А расположена на равном удалении от торцов электромагнита, ширина зазора d = 1 см . Найдите время, за которое электрон долетит от точки А до торца электромагнита. За все время полета электрон не покидает зазора, силами тяжести и сопротивления движению пренебречь.

image.png

Решение

Движение электрона – комбинация ларморовского вращения в плоскости, параллельной торцам электромагнита и продольного дрейфа в направлении, перпендикулярном этим торцам. Так как согласно условию электрон не покидает области, где существует однородное магнитное поле, ларморовское вращение никак не повлияет на его приближение к торцу – это приближение будет происходить равномерно со скоростью продольного дрейфа v_{\parallel} = v \cos(\alpha) . Следовательно, время полета электрона до торца t = \frac{d}{2 v_{\parallel}} = \frac{d}{2 v \cos(\alpha)} = 5 мкс.

Ответ 5 мкс.

Задача 3

Условие

Электрон влетает в зазор между торцами тороидального электромагнита в точке А со скоростью v = 2 км/с под углом 60^\circ к линиям индукции магнитного поля, которое в зазоре можно считать однородным и перпендикулярным к плоскостям торцов электромагнита. Величина индукции в зазоре B = 2 Тл , точка А расположена на равном удалении о торцов электромагнита, ширина зазора d = 1 см . Сколько тысяч оборотов совершит проекция электрона на плоскость торца электромагнита за время полета до этого торца? Удельный заряд электрона \frac{|e|}{m_e} \approx 1,76 \cdot 10^{11} Кл/кг . За все время полета электрон не покидает зазора, силами тяжести и сопротивления движению пренебречь.

Решение

Движение электрона – комбинация ларморовского вращения в плоскости, параллельной торцам электромагнита и продольного дрейфа в направлении, перпендикулярном этим торцам. Так как согласно условию электрон не покидает области, где существует однородное магнитное поле, ларморовское вращение никак не повлияет на его приближение к торцу – это приближение будет происходить равномерно со скоростью продольного дрейфа v_{\parallel} = v \cos(\alpha) . Следовательно, время полета электрона до торца t = \frac{d}{2 v_{\parallel}} = \frac{d}{2 v \cos(\alpha)} = 5 мкс. Период ларморовского вращения T = 2\pi \frac{m_e}{|e| B} \approx 1,785 \cdot 10^{-11} с , поэтому число оборотов N = \frac{t}{T} = \frac{|e| B d}{4\pi m_e v \cos(\alpha)} \approx 280113.

Ответ примерно 280 тысяч.

Задача 4

Условие

Электронная пушка выстреливает электроны в направлении фотопластинки (перпендикулярно ее поверхности) каждый раз с одной и той же начальной скоростью. Точка выстрела находится на расстоянии L = 50 мм от поверхности фотопластинки, и между ними, в вакууме, создано однородное магнитное поле. Электроны попадают на фотопластинку в точке на расстоянии s = 10 мм от «точки прицеливания» (см. рисунок). Каким станет отклонение электронов от «точки прицеливания», если величину индукции магнитного поля увеличить в 1,3 раза?

image.png

Решение

r0.25

Электрон запущен в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, так что его движение – это ларморовское вращение по окружности радиусом R = \frac{mv}{|e|B} \quad (v - скорость электрона) с угловой скоростью \omega = \frac{|q|B}{m} . Пусть \varphi = \omega t – угол поворота электрона за время полета t . Тогда, как видно L = R \sin(\varphi) и s = R[1 - \cos(\varphi)] . Значит, R^2 = L^2 + (R - s)^2 \Rightarrow R = \frac{L^2 + s^2}{2s} = 130 мм .

При увеличении индукции поля в 1,5 раза при той же скорости радиус ларморовской окружности уменьшается во столько же раз: R' = \frac{1}{1,3} R = 100 мм , и поэтому при той же величине L новый угол поворота удовлетворяет уравнению L = R' \sin(\varphi') \Rightarrow sin(\varphi ') = 1,3 L/R = 1/2 . Таким образом,

s' = R'[1 - \cos(\varphi')] = R'\left[1 - \sqrt{1 - \frac{L^2}{R'^2}}\right] =\frac{10R - \sqrt{(10R)^2 - (13L)^2}}{13} \approx 13,4 мм. image.png

Ответ s' \approx 13,4 мм .