Задачи о контуре с током в магнитном поле.: Семинар 2

Магнитное поле действует на контур локально, то есть для изучения полного действия нам нужно разбить контур на «малые» участки и изучить действие поля на каждый участок. Силу, с которой магнитное поле действует на участок контура d\vec{l} , по которому течет электрический ток с силой I , удобно записывать с помощью конструкции векторного произведения:

\Delta \vec{F}_A = I [\Delta \vec{l} \times \vec{B}]. Здесь \vec{B} – вектор магнитной индукции в точке расположения нашего «малого» участка. Модуль этой силы равен dF_A = I B \, dl \sin(\alpha) (где \alpha – угол между участком провода и вектором индукции), а направлена эта сила перпендикулярно и участку провода, и вектору магнитной индукции, в соответствии с правилом левой руки.

Пример 1

Условие

Жесткий прямой участок провода длиной 1 м, по которому течет ток с силой 1 А, находится в однородном магнитном поле с индукцией 10 мТл, линии индукции которого ориентированы под углом 30^\circ к нему. Найти силу Ампера, действующую на этот участок.

Решение

Разобьем наш участок провода на очень малые элементы и используем для каждого элемента формулу силы Ампера. Тогда сила, действующая на весь участок, равна сумме сил, действующих на отдельные элементы:

\vec{F}_A = \sum I [\Delta \vec{l} \times \vec{B}] = I \Bigl[\sum \Delta \vec{l} \times \vec{B}\Bigr] = I [\vec{l} \times \vec{B}] = I B l \cdot \sin(\alpha) \cdot \vec{e}_{\perp}. Здесь вектор \vec{e}_{\perp} перпендикулярен и проводу, и вектору магнитной индукции. Значит, величина силы Ампера равна F_A = I B l \cdot \sin(\alpha) = 5 мН , а ее направление перпендикулярно проводу и вектору индукции, причем при взгляде «навстречу» вектору силы мы видим вращение от направления силы тока к направлению индукции в положительном направлении – против часовой стрелки. Важно уметь использовать векторное произведение и четко определять его направление (любым из принятых способов). Также важно обратить внимание, что в однородном поле ответ для суммарной силы, действующей на участок, не зависит от формы участка – он зависит от длины и положения вектора, соединяющего начало и конец участка.

Пример 2

Условие

Концы прямолинейного участка жесткого провода длины l закреплены в точках 1 и 2, к которым подтекает и утекает ток I , текущий по участку (к этим точкам проложены жесткие прямые провода, причем индукция поля, создаваемого этими проводами, намного меньше индукции внешнего поля B , созданного в месте расположения «выделенного» участка). Магнитное поле однородно, и выделенный участок составляет угол \alpha с направлением индукции. Найдите величину и направление сил реакции, действующих на этот участок со стороны точек закрепления.

Решение

image.png

Ясно, что сумма внешних сил и сумма моментов внешних сил, действующих на участок (а это две искомые силы реакции и сила Ампера), равны нулю. Как ясно из примера 1, равнодействующая сил Ампера приложена к центру участка перпендикулярно плоскости рисунка. В системе уравнений, следующих из необходимых условия равновесия, вместе с условием баланса сил, ось для расчета моментов сил можно выбирать в любом месте. Если выбрать эту ось проходящей через точку закрепления 1 параллельно току, то плечо силы F_2 окажется ровно в два раза больше, чем у силы Ампера:

F_2 \cdot l - F_A \cdot \frac{l}{2} = 0 \Rightarrow F_2 = \frac{1}{2} F_A = \frac{1}{2} I B l \sin(\alpha) Теперь ясно, что F_2 направлена против силы Ампера («на нас» на рисунке) и в два раза меньше ее по величине, а из условия баланса сил видно, что такая же величина и у F_1 .

F_1 = F_2 = \frac{1}{2} F_A = \frac{1}{2} I B l \sin(\alpha). Направление F_1 – такое же, как у силы Ампера («от нас»).

Пример 3

Условие

По контуру в форме квадрата со стороной a = 10 см течет ток с силой I = 2 А . Ток подводится к контуру по паре «скрученных» проводов в середине одной из сторон (на оси симметрии контура OO’). Контур прикреплен к непроводящему стержню, идущему по этой оси и может вместе со стержнем вращаться без трения вокруг этой оси. В области пространства, содержащей контур, создано однородное постоянное магнитное поле с индукцией B = 0,5 Тл . Первоначально контур расположен в плоскости, в которой лежат линии магнитной индукции. Чему при этом равна полная сила и полный момент сил, действующих на контур со стороны магнитного поля? Как изменятся эти величины, если контур повернуть вокруг оси OO’ на угол \alpha ? Изменением силы тока в контуре и индукции магнитного поля при повороте пренебречь. Опишите характер движения контура, если его аккуратно отпустить из начального положения.

Решение

Вспомним, что для любого замкнутого неразветвленного контура (у которого во всех элементах сила тока одинакова) в однородном поле полная сила Ампера равна нулю: \vec{F}_A = \oint d\vec{F}_A = I [\oint d\vec{l} \times \vec{B}] = 0, поскольку для такого контура \oint d\vec{l} = 0 . На участке «скрученных» проводов токи в прилегающих друг к другу бесконечно малых участках этих проводов текут в противоположные стороны, так что действующая на них суммарная сила Ампера равна нулю. Поэтому в любом положении нашего контура полная действующая на него сила равна нулю.

В исходном положении силы Ампера, действующие на стороны квадрата, перпендикулярные оси, равны нулю, так как ток в них течет вдоль линий индукции. Отметим, что после поворота эти силы перестанут быть равны нулю, но они для этих двух сторон противоположны друг другу, и их сумма и момент относительно нашей оси остаются нулевыми (они противоположно направлены и параллельны оси). Поэтому суммарный вращающий вокруг OO’ момент создается моментом сил, действующих на стороны квадрата, параллельные оси. В начальном положении эти стороны перпендикулярны индукции, то есть действующие на них силы равны по величине F_1 = F_2 = IBa . Расстояние между линиями их действия равно стороне квадрата, и вращающий момент этой пары сил равен M_0 = 2 \cdot IBa \cdot \frac{a}{2} = IBa^2 .

image.png

Отметим, что в процессе поворота вокруг оси эти стороны остаются перпендикулярны вектору магнитной индукции, их длина и сила тока в них не изменяются, то есть величины и направления сил не изменяются, изменяется только их плечи – расстояние между линиями их действия становится равно a \cdot \cos(\alpha) . Таким образом, зависимость момента от угла поворота M(\alpha) = IBa^2 \cdot \cos(\alpha) . Значит, положение равновесия контура соответствует \alpha = \frac{\pi}{2} , то есть положению, в котором плоскость контура перпендикулярна линиям магнитной индукции. Полезно обратить внимание, что это положение равновесия устойчиво – в самом деле, при \alpha < \frac{\pi}{2} момент положителен (силы Ампера стремятся увеличить \alpha ), а при \alpha > \frac{\pi}{2} – отрицателен. Второе положение равновесия, отвечающее \alpha = \frac{3\pi}{2} , напротив, неустойчиво.

Если отпустить контур из начального положения, силы Ампера начнут его вращать к положению равновесия, разгоняя до максимальной угловой скорости при прохождении этого положения. После него силы Ампера тормозят вращение. Из симметрии движения относительно положения равновесия ясно, что в отсутствии потерь он остановится в положении, когда плоскость контура совпадет с линиями индукции ( \alpha = \pi ). Из этого положения начнется обратное вращение, и движение контура будет колебаниями между начальным положением и \alpha = \pi .

Можно обратить внимание на выражение для момента сил в произвольном положении, которое можно переписать в виде M(\varphi) = - IBS \cdot \sin(\varphi), где S – площадь контура, а \varphi = \alpha - \frac{\pi}{2} – угол между вектором индукции и вектором нормали к контуру (перпендикуляром к плоскости контура, при взгляде навстречу которому мы видим ток в контуре циркулирующим в положительном направлении). На самом деле это выражение относится к любому плоскому неразветвленному контуру с током.