Задачи о контуре с током в магнитном поле.: Семинар 2

Пример 9*

Условие

Электролитическая ванна имеет вид прямоугольного параллелепипеда к двум противолежащим вертикальным граням которого подведено постоянное напряжение U . Эти грани представляют собой металлические квадраты размером a \times a . Остальные вертикальные грани и дно ванны – непроводящие, сверху она открыта и заполнена электролитом ровно наполовину. Длина ванны равна L . В объеме ванны создано вертикальное однородное магнитное поле с индукцией B . Под каким углом к горизонту расположится поверхность электролита? Плотность электролита равна \tau , удельное сопротивление \rho , выливающийся через край ванны электролит «безвозвратно» покидает систему и не влияет на протекание тока через ванну. Постройте ВАХ электролитической ванны в магнитном поле с заданной величиной индукции.

Решение

Поверхность электролита наклоняется, так как на него при протекании тока действует сила Ампера, направленная горизонтально.

image.png

Если выделить «элемент» жидкости на поверхности, имеющий длину l и сечение \Delta S , по которому течет ток \Delta I = \frac{I}{S} \Delta S (где I - полный ток через ванну, а S - поперечное сечение области, занятой электролитом), то величина действующей на него силы Ампера F_A = \Delta I B l = \frac{I B}{S} l \Delta S .

10 Величина силы тяжести \Delta m g = \tau g l \Delta S , и поэтому угол наклона поверхности к горизонту, совпадающий по величине с углом наклона равнодействующих этих сил к вертикали, равен \alpha = arctg\frac{I B}{\tau g S} . Ток через электролит I = \frac{U}{R} = \frac{U S}{\rho L} , и в результате \alpha = arctg\frac{U B}{\rho L \tau g} .

Отметим, что при U > \frac{\rho L \tau g}{B} ( \alpha > 45^\circ ) электролит начинает выливаться из ванны, но на результат это не влияет, поскольку поперечное сечение электролита в формулу для угла не вошло. Зато этот факт влияет на связь тока с напряжением: при U \le \frac{\rho L \tau g}{B} сечение электролита (а значит, и его сопротивление) постоянно и равно S_0 = \frac{a^2}{2} . Поэтому I(U) = \frac{a^2}{2 \rho L} U , независимо от B . А при U > \frac{\rho L \tau g}{B} сечение электролита начинает уменьшаться: S = \frac{a^2}{2} ctg(\alpha) = \frac{\rho L \tau g a^2}{2 U B} , и теперь I(U) = \frac{\tau g a^2}{2 B} . Здесь ток не зависит от напряжения, зато зависит от магнитного поля.

Итак, ВАХ ванны описывается выражением: I(U) = \left\{

\begin{array}{l}

\frac{a^2}{2 rho L} U, при U \le \frac{rho L \tau g}{B} \equiv U_c \\

\frac{\tau g a^2}{2 B} \equiv I_m, при U > \frac{rho L \tau g}{B}

\end{array}

\right.

image.png

График показан на рисунке.