Задачи о контуре с током в магнитном поле.: Семинар 2

Пример 6

Условие

Жесткий однородный контур массы m в форме равностороннего треугольника со стороной a помещен на горизонтальную поверхность. Две его вершины – А и С закреплены шарнирно так, что треугольник может вращаться без трения вокруг оси АС. В треугольнике создан ток с силой I , а в окружающем пространстве создано горизонтальное однородное магнитное поле, перпендикулярное АС, с плавно увеличивающейся величиной индукции. При достижении какой минимальной величины индукции контур придет в движение? Ускорение свободного падения g .

image.png

Решение

Контур может прийти во вращение вокруг стороны АС, когда момент сил Ампера, «приподнимающий» его плоскость над поверхностью, сравняется (или тем более превысит) по величине момент силы тяжести. Точкой приложения силы тяжести является центр масс треугольника, совпадающий с его геометрическим центром, так что плечо этой силы относительно АС равно радиусу вписанной в треугольник окружности, то есть r = \frac{a}{2\sqrt{3}} . Значит, M_g = mg \cdot \frac{a}{2\sqrt{3}} . Силы Ампера действуют на каждую сторону треугольника. Ясно, что у силы Ампера, действующей на сторону АС, нулевое плечо относительно оси вращения, идущей вдоль этой стороны. Силы Ампера, действующие на стороны АВ и ВС, направлены вертикально вверх, имеют одинаковую величину F_{AB} = F_{BC} = IBa \cdot \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}IBa , и точками их приложения являются середины соответствующих сторон – их плечи равны половине высоты треугольника l_A = \frac{\sqrt{3}}{4}a . Следовательно, M_A = 2 \frac{1}{2}IBa \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}a = \frac{\sqrt{3}}{4}IBa^2 , и «пороговая» величина индукции для начала движения определяется из уравнения

mg \cdot \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{4}IBa^2 \Rightarrow B_{\min} = \frac{2}{3} \frac{mg}{Ia}. Пример 7

Условие

Тяжелый металлический стержень AB подвешен в горизонтальном положении на двух легких вертикальных проводах в лаборатории, где в некотором объеме создано однородное магнитное поле, линии индукции которого вертикальны. Участок CD стержня все время находится в магнитном поле, а провода-подвески – вне поля. В первом опыте на стержень подали напряжение, и в нём очень быстро возник ток силой I . Максимальный угол, на который подвески стержня отклонились от вертикали, был при этом равен \alpha = 60^\circ . Во втором опыте силу тока через стержень плавно увеличивали от нуля до того же значения I . На какой угол \beta отклонились подвески во втором опыте?

image.png

Решение

image.png

В этой задаче мы используем квазистационарное приближение, то есть считаем, что перемещение провода с током – очень медленное по сравнению с перемещением возмущений электромагнитного поля, и поэтому нестационарностью электромагнитных полей, создаваемых в нашей системе, можно пренебречь. Таким образом, мы считаем, что на участок CD стержня в каждый момент времени действует сила Ампера, соответствующая мгновенному значению силы тока в стержне I , то есть направленная горизонтально сила F_A = I B l , где l = |CD| . В первом опыте эта сила постоянна, и ее работа при смещении стержня на расстояние x по горизонтали равна A = I B l x , и за счет этой работы увеличиваются кинетическая энергия стержня E_k и его потенциальная энергия в поле тяжести E_p = mgh = mg(L - \sqrt{L^2 - x^2}) (здесь L – длина подвесок, натянутых за счет веса стержня и силы Ампера). Поэтому кинетическая энергия стержня в момент отдаления стержня по горизонтали на расстояние x от начального положения в первом опыте E_k = IBlx - mg(L - \sqrt{L^2 - x^2}) . Как видно из этой зависимости, скорость стержня сначала растет, затем достигает максимума (при прохождении положения равновесия), затем снова убывает до нуля в точке с координатой x_0 , определяемой из уравнения \sqrt{L^2 - x_0^2} = L - \frac{IBl}{mg}x_0 . Ненулевой корень этого уравнения: x_0 = \frac{2(IBl/mg)}{1 + (IBl/mg)^2}L . Эта точка и есть точка наибольшего отклонения подвесок в первом опыте, так что x_0 = L \sin(\alpha) . Во втором же опыте движение стержня очень медленное и по сравнению с его движением при свободных колебаниях на подвесках, и он в каждый момент времени находится в квазиравновесном состоянии, в котором сумма приложенных сил равна нулю. Значит, он сместится до равновесного положения под действием силы тяжести и горизонтальной F_A = IBl . В этом положении равнодействующая этих сил должна быть направлена вдоль подвесок, так как она уравновешивается силой натяжения подвесок. Значит, tg(\beta) = \frac{IBl}{mg} .

Объединяя полученные равенства, находим: \sin(\alpha) = \frac{2 tg(\beta)}{1 + tg^2(\beta)} = 2 \sin(\beta) \cos(\beta) = \sin(2\beta) \Rightarrow \beta = \frac{\alpha}{2} = 30^\circ.

На самом деле здесь при анализе первого опыта можно было заметить, что движение стержня под действием постоянной результирующей силы m\vec{g} + \vec{F}_A аналогично колебаниям в поле \vec{g}^* = \vec{g} + \frac{\vec{F}_A}{m} , которые очевидно происходят симметрично относительно положения равновесия, откуда сразу получается ответ задачи.

Пример 8

Условие

Из медной проволоки с площадью сечения S сделано кольцо радиусом R , по которому течет ток I . Кольцо помещается в однородное магнитное поле так, что его ось совпадает с направлением линий магнитной индукции. Найдите максимальное значение индукции B магнитного поля, при которой кольцо не разорвется, если прочность меди на разрыв равна \sigma (этот параметр равен отношению силы, которая требуется для разрыва проволоки к площади ее поперечного сечения).

Решение

image.png

При указанном расположении кольца силы Ампера действуют в плоскости кольца перпендикулярно току, то есть растягивают либо сжимают кольцо. Равнодействующая сил натяжения, действующих на малый элемент кольца с угловым размером d\varphi , уравновешивает силу Ампера, действующуя на этот элемент. Запишем это условие в проекции на ось x , направленную вдоль среднего радиуса рассматриваемого элемента (см. рисунок) и учитывая, что сила натяжения вдоль кольца постоянна (это ясно из соображений симметрии): I B dl = 2 T \sin(d\varphi/2) . С учетом того, что dl = R d\varphi , а \sin(d\varphi/2) \approx d\varphi/2 , найдем силу натяжения кольца с током в магнитном поле T = IBR . Условие, что кольцо не разорвется, имеет вид IBR \le \sigma S . Таким образом, B_{\max} = \frac{\sigma S}{IR} .

Обратим внимание: в этом примере нам понадобилось записать условие равновесия для бесконечно малого элемента контура. Это почти обязательный элемент решения при рассмотрении гибких контуров.

Перейдем теперь к рассмотрению более сложных примеров, когда вопрос о форме контура становится очень важным. Начнем с примера, в котором рассматривается очень необычный – «жидкий» - контур с током в магнитном поле.