Основные законы магнитостатики: Часть 1

Часть I: Закон Био-Савара-Лапласа.

В электростатике удобным приемом для нахождения электрического поля системы зарядов было разбиение ее на «точечные» заряды, для которых из закона Кулона было известно выражение для напряженности в любой точке пространства. После этого использовался принцип суперпозиции. Для использования аналогичного приема в магнитостатике необходимо построить выражение для индукции поля, создаваемого «малым» элементом провода с током. Договоримся описывать длину и направление такого элемента вектором \Delta \vec{l} , направленным «по току» вдоль касательной к проводу в месте расположения этого элемента. Мы сразу, конечно, должны понимать, что «настоящее» вычисление поля контура как суммы вкладов таких элементов будет связано с выполнением операции интегрирования - так математики называют вычисление сумм бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых. Но мы будем стараться разбирать в основном примеры, в которых вычисление таких сумм окажется «интуитивно понятным», и полноценное интегрирование будем использовать редко. Поэтому договоримся, для различения этих случаев, использовать для малого элемента контура именно обозначение \Delta \vec{l} (как и для других малых величин). А в примерах, где нужно будет явно использовать умение интегрировать, будем использовать символ бесконечно малой величины (дифференциала), например: d \vec{l} . Выражение для магнитной индукции малого элемента в магнитостатике фиксируется в законе Био-Савара-Лапласа (закон БСЛ):

image.png

r0.3Если разбить контур с током I на малые элементы \Delta \vec{l} , то вектор индукции магнитного поля контура в точке наблюдения равен сумме вкладов отдельных элементов \Delta \vec{B}=\frac{\mu_{0} \mu I}{4 \pi} \frac{[\Delta \vec{l} \times \vec{r}]}{r^{3}} , где \vec{r} - вектор, соединяющий элемент тока и точку наблюдения.

У закона БСЛ существует очень важная особенность: мы должны его использовать только для вычисления поля, создаваемого участком замкнутого контура, и наиболее правильное его использование - это вычисление индукции магнитного поля, создаваемого замкнутым контуром. То есть после вычисления по этой формуле вкладов, создаваемых участками контура, нужно просуммировать все вклады для полного замкнутого контура. Иначе корректность полученного выражения будет необходимо исследовать отдельно. Дело здесь в том, что «малый элемент» контура с током (в отличие от «малого» по размерам заряда в электростатике) физически не может существовать сам по себе, без других элементов этого же контура: для этого его бы пришлось снабдить двумя устройствами, одно из которых «запускало» бы в него заряды на входе, а второе «забирало» бы эти заряды на выходе. Но такие устройства создавали бы свои электромагнитные поля, и общее поля системы «элемент контура + два устройства» все равно отличалось бы от описанного в законе БСЛ.

Для того, чтобы продемонстрировать, как при некорректном использовании формулы закона БСЛ могут возникать ошибки, разберем пример:

Пример 1: Изучить магнитное взаимодействие двух элементов тока \Delta \vec{l}_{1} (с током I_{1} ) и \Delta \vec{l}_{2} (с током I_{2} ), используя закон БСЛ и формулу для силы Ампера. Вычислить силы \Delta \vec{F}_{12} и \Delta \vec{F}_{21} , с которыми они действуют друг на друга, для случая, когда элементы находятся на расстоянии r друг от друга, причем \Delta \vec{l}_{1} направлен вдоль линии, соединяющей элементы, а \Delta \vec{l}_{2} - под углом \alpha=45^{\circ} к этой линии.

image.png

Решение: Как видно, в этом случае мы «игнорировали» предыдущие предупреждение. Теперь мы обнаружим, что поскольку \left[\Delta \overrightarrow{l_{1}} \times \vec{r}\right]=0 , то, в соответствии с формулой закона БСЛ, магнитная индукция, создаваемая первым элементом в точке расположения второго, равна нулю ( \Delta \vec{B}_{21}=0 ), и поэтому сила, действующая на второй элемент со стороны первого, тоже равна нулю: \Delta \vec{F}_{21}=I_{2}\left[\Delta \vec{I}_{2} \times \Delta \vec{B}_{21}\right]=0 . С другой стороны, индукция поля, создаваемого вторым элементом в месте расположения первого \Delta \vec{B}_{12}=\frac{\mu_{0} I_{2}}{4 \pi} \frac{\left[\Delta \vec{l}_{2} \times(-\vec{r})\right]}{r^{3}} \neq 0 и перпендикулярна \Delta \vec{l}_{1} , и, естественно, \Delta \vec{F}_{12}=I_{1}\left[\Delta \vec{l}_{1} \times \Delta \vec{B}_{12}\right]=\frac{\mu_{0} I_{1} I_{2}}{4 \pi} \frac{\left[\left[\Delta \vec{l}_{2} \times \vec{r}\right] \times \Delta \vec{l}_{1}\right]}{r^{3}} \neq 0 . Таким образом, мы обнаружили, что такое использование формулы закона БСЛ вместе с законом Ампера приводит к противоречию с III законом Ньютона. Разумеется, построить «безопорный движитель» на основе взаимодействия постоянных токов нельзя. Конечно, при использовании переменных полей можно создать систему, которая будет излучать или рассеивать электромагнитные волны, переносящие импульс. Тогда действительно, для тел можно обнаружить реальное неравенство сил взаимодействия, но и в этом случае это на самом деле не даст нарушения закона сохранения импульса, ибо сумма импульсов тел не будет сохраняться только из-за того, что часть импульса системы будет «забирать себе» электромагнитное поле. Таким образом, даже в этом случае мы будем иметь дело не с «безопорным», а с реактивным движением. Но в магнитостатике даже таких эффектов нет. В самом деле, если считать силы взаимодействия двух замкнутых контуров с постоянными токами, то мы увидим, что III закон Ньютона никогда не нарушается.

Впрочем, если мы используем закон БСЛ для вычисления поля замкнутого контура с постоянным током, никаких проблем не возникает.

Пример 2: Вычислить индукцию магнитного поля плоского кругового контура радиуса а с током I в центре круга.

Решение: Направляя вектор \vec{r} от элемента тока в точку наблюдения O в центре кольца), обнаруживаем, что вектор, равный [\Delta \vec{l} \times \vec{r}] , всегда направлен перпендикулярно плоскости кольца (вдоль единичного вектора нормали к этой плоскости, который обозначим \vec{n} ) и модуль его равен a \cdot \Delta l . Поэтому \vec{B}(O)=\sum d \vec{B}=\frac{\mu_{0} I}{4 \pi} \frac{\vec{n}}{a^{2}} \sum \Delta l=\frac{\mu_{0} I}{4 \pi} \frac{\vec{n}}{a^{2}} 2 \pi a=\frac{\mu_{0} I}{2 a} \vec{n} . Здесь мы использовали для суммирования малых величин «интуитивно очевидный» результат: сумма длин всех «малых» элементов окружности дает длину окружности.

image.png

Пример 3*: Докажем, что из закона БСЛ следует правильная формула для поля линейного тока.

Решение:

image.png

Рассмотрим прямолинейный провод с током. Мы будем считать его «очень длинным» (то есть практически бесконечным) в обе стороны от точки наблюдения P . Тогда ясно, что смещения точки наблюдения вдоль провода не изменят наблюдаемой магнитной индукции. Следовательно, направив вдоль провода ось z системы координат, мы можем (как говорят математики, «без потери общности», то есть на самом деле не накладывая никаких ограничений на применимость полученного результата) расположить начало отсчета этой координаты «напротив P » - в точке провода, ближайшей к точке наблюдения. Также нам должно быть ясно, что наша система не изменяется при любом повороте вокруг провода (будем говорить, что система «симметрична» относительно таких поворотов). Это означает, что во всех плоскостях, проходящих через провод, распределение индукции поля одинакова. Это дает нам право «выбрать» удобную для вычисления плоскость, и мы будем считать, что точка наблюдения находится в плоскости z X (см. рисунок). Выделим в проводе бесконечно малый элемент, расположенный в точке с координатой z длиной d z , направленный по току: d \vec{l}=d z \cdot \vec{e}_{z} (как мы и договаривались, в этом примере, где нам предстоит использовать операцию интегрирования, мы используем для элемента тока именно обозначение d \vec{l} ). Обратим внимание на еще одно введенное обозначение: символом \vec{e}_{z} обозначен вектор единичной длины, направленный вдоль оси z. Аналогично будем обозначать «единичные» вектора, направленные вдоль других осей. Как видно, вектор, соединяющий этот элемент с точкой наблюдения, можно записать как \vec{r}=\rho \cdot \vec{e}_{x}-z \cdot \vec{e}_{z} , где \rho - расстояние от провода до точки наблюдения. Тогда [d \vec{l} \times \vec{r}]=d z\left\{\rho\left[\vec{e}_{z} \times \vec{e}_{x}\right]-z\left[\vec{e}_{z} \times \vec{e}_{z}\right]\right\}=\vec{e}_{y} \cdot \rho \cdot d z . Здесь мы учли, что \left[\vec{e}_{z} \times \vec{e}_{z}\right]=0 и \left[\vec{e}_{z} \times \vec{e}_{x}\right]=\vec{e}_{y} . Значит, в соответствии с законом БСЛ, после суммирования вкладов от всех элементов

\vec{B}=\frac{\mu_{0} I}{4 \pi} \rho \vec{e}_{y} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{d z}{\left(\rho^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}} . Входящий в это выражение интеграл удобно вычислить, использовав подстановку z=\rho \operatorname{tg}(\alpha): d z=\rho \frac{d \alpha}{\cos ^{2} \alpha},\left(\rho^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}=\frac{\rho^{3}}{\cos ^{3} \alpha}, \quad при \quad этом \quad пределы интегрирования изменяются следующим образом: z=-\infty \leftrightarrow \alpha=-\frac{\pi}{2}, z=+\infty \leftrightarrow \alpha=+\frac{\pi}{2} , поэтому

\vec{B}=\frac{\mu_{0} I}{4 \pi \rho} \vec{e}_{y} \int\limits_{-\pi / 2}^{+\pi / 2} \cos \alpha d \alpha=\frac{\mu_{0} I}{4 \pi \rho} \vec{e}_{y}\left(\sin \left(\frac{\pi}{2}\right)-\sin \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)=\frac{\mu_{0} I}{2 \pi \rho} \vec{e}_{y} . Это выражение - в точности векторная запись уже знакомых нам формул для магнитного поля линейного тока в вакууме. Только теперь мы его получили не из закона Ампера, записанного на основе экспериментальных данных, а вывели теоретически из закона Био-Савара-Лапласа.

Вычислите модуль индукции магнитного поля в центре окружности радиусом a = 5 см, по которой проложен провод с током силой I = 5 А. Запишите ответ в мкТл с точностью до десятых.

По двум концентрическим окружностям с радиусами a = 5 см и b = 15 см проложены два тонких провода, по которым текут в одинаковом направлении токи с силами I_a = 10 А и I_b = 15 А. Вычислите модуль индукции магнитного поля в общем центре этих окружностей. Запишите ответ в мкТл с точностью до десятых.