Основные законы магнитостатики: Часть 3

Посмотрим, как можно пользоваться этим законом.

Пример 4: Рассмотрим еще раз линейный ток, на сей раз учтем, что провод имеет конечную толщину, и обозначим его радиус a . Будем при этом считать, что вещество провода почти не влияет на магнитное поле (то есть оно не является магнетиком и его магнитная проницаемость близка к 1 - например, это может быть медь). Кроме того, примем, что ток I по сечению провода распределен равномерно. Найдем магнитную индукцию поля этого тока во всем пространстве.

Решение: а) Сначала рассмотрим случай, когда точка наблюдения находится от оси провода на расстоянии r>a (то есть она находится вне провода). Как и ранее, воспользуемся симметрией системы и придем к выводу, что линии индукции - концентрические окружности в плоскости, перпендикулярной оси провода, и величина индукции на каждой такой окружности постоянна. Возьмем эту окружность в качестве контура и запишем для этого контура закон полного тока: в каждой его точке вектор \vec{B} сонаправлен с \Delta \vec{l} , и (\vec{B} \cdot \Delta \vec{l})=B(r) \cdot \Delta l . Полный ток в этом случае, конечно же, равняется I . Итак:

\sum \vec{B} \cdot \Delta \vec{l}=B(r) \cdot \sum \Delta l=B(r) \cdot 2 \pi r=\mu_{0} \cdot I \Rightarrow B(r)=\frac{\mu_{0} I}{2 \pi r} . Мы обнаружили, что вне провода магнитное поле «не чувствует» его ненулевой толщины мы вновь получили знакомое выражение для индукции линейного тока.

б) Теперь перейдем к случаю r \leq a (точка наблюдения внутри провода). Симметрия осталась прежней, и мы можем полностью повторить связанные с ней рассуждения, но при записи закона полного тока нужно учесть, что теперь площадку радиуса r пронизывает не весь ток, а его часть, пропорциональная охваченной плоскости: I_{in}=\frac{\pi r^{2}}{\pi a^{2}} I=\frac{r^{2}}{a^{2}} I . Значит, теперь

\sum \vec{B} \cdot \Delta \vec{l}=B(r) \cdot \sum \Delta l=B(r) \cdot 2 \pi r=\mu_{0} \cdot \frac{r^{2}}{a^{2}} I \Rightarrow B(r)=\frac{\mu_{0} I}{2 \pi a^{2}} r . В результате, соединяя полученные ответы, записываем общую формулу для величины индукции линейного тока, равномерно распределенного по сечению цилиндрического провода:

B(r)=\left\{\begin{array}{c}

\frac{\mu_{0} I}{2 \pi a^{2}} r, r \leq a \\

\frac{\mu_{0} I}{2 \pi r}, r>a

\end{array} .\right. Нетрудно заметить, что на поверхности провода - при r=a - обе формулы на самом деле дают одинаковое значение.

Пример 5: Катушка индуктивности (соленоид) - провод, намотанный витками на сердечник (обычно из магнетика с большим \mu , часто - из железа). При пропускании тока I внутри соленоида длиной L (которая много больше радиуса сердечника), на который намотано N витков, создается почти однородное магнитное поле, а снаружи - неоднородное поле, по картине линий индукции похожее на поле полосового магнита, величина индукции в котором существенно меньше, чем у внутреннего поля. Найти индукцию магнитного поля внутри соленоида (то есть вдали от его торцов).

Решение: Проведем прямоугольный «очень тонкий» контур так, как показано на рисунке (на котором изображено осевое сечение соленоида с сечениями его витков): одна «длинная» сторона прямоугольника внутри соленоида, другая - снаружи, а замыкающие их стороны имеют очень малую длину и проходят у самых торцов соленоида. Полный ток, пронизывающий контур, равен NI. Поскольку поле внутри почти однородно, то вклад в циркуляцию внутренней стороны примерно равен \frac{1}{\mu} B_{\text {in }} L . Вклад в циркуляцию внешней стороны много меньше, так как там индукция существенно меньше. Вклад «коротких» сторон также очень мал - их длина мала, и к тому же поле почти перпендикулярно этим сторонам. Таким образом, закон полного тока дает: B_{in} L \approx \mu_{0} \mu \cdot N I . Следовательно, B_{\text {in }} \approx \mu_{0} \mu \frac{N}{l} I . На этот раз мы вывели из закона полного тока формулу для индукции внутри соленоида с сердечником (ранее формулу для соленоида без сердечника я Вам сообщал без вывода).

image.png

Интересный вопрос: чему равняется величина индукции поля соленоида в центре одного из его торцов? Из симметрии ясно, что вектор \vec{B} в этой точке направлен вдоль оси соленоида. Кроме того, из картины линий индукции ясно, что величина его меньше B_{\text {in }} . Воспользовавшись принципом суперпозиции, можно доказать, что величина индукции в этой точке равна B_{\text {in }} / 2 .

Плоский контур в пространстве представляет собой окружность радиуса r = 50 см. В этой области пространства находятся четыре прямых провода с токами, расположенные так, как показано на рисунке. Известно, что силы токов равны I = 5 А, 2I = 10 А, 3I = 15 А, 4I = 20 А, и при этом первые три тока не пересекают круг, охватываемый окружностью, в точках A, B и C соответственно, а четвертый ток не пересекает его. Вычислите циркуляцию по этому контуру вектора магнитной индукции поля, созданного этими четырьмя точками. Направление обхода контура - против часовой стрелки (при взгляде «сверху» по рисунку). Ответ запишите в мкТл \cdot мм, с точностью до целого значения.

Рисунок - к условию задачи

Прямолинейный коаксиальный провод имеет следующее устройства: в поперечном сечении он состоит из центральной жилы радиусом a = 1 мм (медный проводник, по которому течет ток с силой I = 12 А, равномерно распределенный по сечению), слоя изоляции толщиной d = 0{,}4 мм из непроводящего материала с \mu = 25 и внешней жилы с внешним радиусом b = 2{,}4 мм (медный проводник, по которому тот же ток с силой I = 12 А течет в обратном направлении). Найдите величину индукции магнитного поля на расстоянии r = 1{,}2 мм от оси провода. Ответ запишите в Тл с точностью до сотых.

Рисунок - к условию задачи