Использование магнитного потока в изучении магнитных систем.: Семинар 5

Пример 1

Условие

По неразветвленному кольцевому контуру с током течет ток с силой I = 1,2 А , и при этом магнитный поток через контур \Phi = 0,5 Вб . Определите полную энергию магнитного поля, созданного этим контуром.

Решение

Энергия магнитного поля, созданного контуром с индуктивностью L , по которому течет ток I , равна E_B = \frac{L I^2}{2} . С другой стороны, индуктивность описывает связь силы тока с магнитным потоком создаваемого поля: L = \frac{\Phi}{I} . Таким образом, E_B = \frac{\Phi I}{2} = 0,3 Дж .

Ответ E_B = \frac{\Phi I}{2} = 0,3 Дж .

Пример 2

Условие

В пространстве на некотором расстоянии находятся два замкнутых неразветвленных контура. Когда сила тока в первом контуре равнялась I_1 = 1 А , а во втором I_2 = 2 А , то магнитный поток через первый контур был равен \Phi_1 = 7 Вб . При I_1' = 2 А и I_2' = 2 А новое значение магнитного потока через первый контур стало \Phi_1' = 11 Вб . В третьем опыте токи в контурах равны I_1'' = 2 А и I_2'' = 3 А . Чему теперь равен магнитный поток через первый контур?

Решение

Из теории мы знаем, что при неизменном положении и форме контуров и неизменных магнитных свойствах среды магнитные потоки являются линейными однородными функциями токов, а коэффициенты мы называем индуктивностями. Например, \Phi_1 = L_1 I_1 + L_{12} I_2 . Подставляя в это уравнения численные значения, соответствующие первому и второму опытам, находим индуктивность первого контура и взаимную индуктивность первого и второго контуров, а по ним – величину потока в третьем опыте: \left\{ \begin{aligned}

L_1 \cdot 1 A + L_{12} \cdot 2 A &= 7 Вб \\

L_1 \cdot 2 A + L_{12} \cdot 2 A &= 11 Вб

\end{aligned} \right\} \Rightarrow

\left\{ \begin{aligned}

L_1 &= 4 Гн \\

L_{12} &= 1,5 Гн

\end{aligned} \right\} \Rightarrow \Phi_1'' = 4 Гн \cdot 2 A + 1,5 Гн \cdot 3 A = 12,5 Вб.

Ответ \Phi_1'' = 12,5 Вб .

Впрочем, мы можем решить эту задачу в общем виде, а не только для конкретных чисел. В этом случае записываем систему уравнений для потоков и решаем ее относительно индуктивностей: \left\{ \begin{aligned}

L_1 I_1 + L_{12} I_2 &= \Phi_1 \\

L_1 I_1' + L_{12} I_2' &= \Phi_1'

\end{aligned} \right\} \Rightarrow

\left\{ \begin{aligned}

L_1 &= \frac{I_2' \Phi_1 - I_2 \Phi_1'}{I_1 I_2' - I_2 I_1'} \\

L_{12} &= \frac{I_1 \Phi_1' - I_1' \Phi_1}{I_1 I_2' - I_2 I_1'}

\end{aligned} \right\} \Rightarrow \Phi_1'' = \frac{I_2 I_1'' - I_2'' I_1}{I_1' I_2 - I_2' I_1} \Phi_1' + \frac{I_1' I_2'' - I_1'' I_2'}{I_1' I_2 - I_2' I_1} \Phi_1. Здесь, например, для выражения L_1 достаточно умножить первое уравнение системы на I_2' , а второе – на I_2 , и затем вычесть их. Аналогично выражаем и L_{12} , а затем подставляем их в формулу для потока. Получение таких общих (пусть и довольно громоздких) выражений – полезная вычислительная тренировка.

Пример 3

Условие

Пусть для той же пары контуров, что и в примере 2, во втором опыте был дополнительно измерен магнитный поток через второй контур, оказавшийся равным \Phi_2' = 9 Вб . Найдите полную энергию магнитного поля обоих контуров в третьем опыте.

Решение

Мы уже знаем, что L_1 = 4 Гн и L_{12} = 1,5 Гн . Запишем уравнение для дополнительно измеренного магнитного потока \Phi_2' = L_{21} I_1' + L_2 I_2' . С учетом свойства взаимности индуктивностей ( L_{21} = L_{12} ) находим, что 1,5 Гн \cdot 2 A + L_2 \cdot 2 A = 9 Вб \Rightarrow L_2 = 3 Гн. Теперь мы вычисляем энергию магнитного поля по общей формуле E_B = \frac{L_1 I_1''^2}{2} + \frac{L_2 I_2''^2}{2} + L_{12} I_1'' I_2'' = 30,5 Дж.

Ответ E_B = 30,5 Дж .

Пример 4

Условие

Индуктивность контура, образованного ребрами одной грани куба, равна L_1 . Индуктивность контура, проложенного по периметру двух соседних граней этого же куба равна L_2 . Найти индуктивность контура, проложенного по периметру трех соседних граней этого куба.

Решение

image.png

Индуктивность L_1 – это индуктивность квадратного контура (рисунок справа). Такой контур с током I , направленном так, как показано на рисунке, создает поток \Phi_1 = L_1 I , направленный внутрь куба. Контур с индуктивностью L_2 (средний рисунок) можно, добавив два «сокращающих» друг друга тока на одно из ребер, превратить в два квадратных контура, составляющих прямой двугранный угол. Каждый из них «отправляет» внутрь куба поток \Phi_1 = L_1 I , часть которого, равная \Phi' = L_{12} I , выходит через соседнюю грань. Следовательно, полный поток через второй контур \Phi_2 = 2(\Phi_1 - \Phi') = 2(L_1 - L_{12})I = L_2 I . Из этого уравнения можно найти коэффициент взаимоиндукции соседних граней куба: L_{12} = L_1 - \frac{L_2}{2} . Соответственно для третьего куба (каждый из трех квадратных контуров «отправляет» внутрь куба поток \Phi_1 = L_1 I и выпускает наружу потоки по \Phi' = L_{12} I от двух соседних граней) \Phi_3 = 3(\Phi_1 - 2\Phi') = 3(L_1 - 2L_{12})I = L_3 I . Следовательно, L_3 = 3L_1 - 6L_{12} = 3(L_2 - L_1) .

Ответ L_3 = 3(L_2 - L_1) .

Понятия магнитного потока и индуктивности очень важны при изучении «настоящего электромагнетизма» - в описании систем зарядов и токов, создающих переменные электромагнитные поля. На самом деле, работая в приближении магнитостатики, мы считаем, что любые изменения токов в изучаемых контурах (включения, выключения, переключения соединений) происходили так «давно», что их влияние на систему уже «прекратилось». Поэтому мы, в частности, считаем, что изменение характеристик одного контура не влияет на индуктивности остальных. Это разумно для «обычных» контуров с током. Дело в том, что для контура с индуктивностью L и сопротивлением r характерное время «затухания» влияния изменений равно t = L/r (нетрудно убедиться, что эта величина имеет размерность времени). Поэтому для времен t \gg L/r действительно можно пренебречь влиянием изменений. Правда, сразу можно заметить явное исключение из этого правила: для сверхпроводящих контуров (с нулевым омическим сопротивлением) таких времен не существует – для них «предыстория» влияет на происходящее в контуре. Дело в том, что в медленно изменяющихся полях магнитный поток через сверхпроводящий контур не изменяется – при любом изменении внешнего поля в сверхпроводящем контуре ток изменяется ровно таким образом, чтобы общий магнитный поток через него остался прежним! Например, если вносить сверхпроводник из области, где не было магнитного поля, в область, где оно есть, поле токов, появившихся на поверхности сверхпроводников, будет в точности сокращать магнитное поле внутри сверхпроводника, то есть сверхпроводник будет «вытеснять» из себя магнитное поле (эффект Мейснера).