Использование магнитного потока в изучении магнитных систем.: Семинар 5

Пример 7

Условие

В обмотке очень длинного и тонкого вертикального соленоида создан и поддерживается постоянный ток, сила которого равна I . Плотность намотки провода (число витков, приходящееся на единицу длины) у соленоида постоянна и равна n . Еще до создания тока в обмотке к соленоиду поднесли сверхпроводящий круговой виток радиуса R , который намного больше радиуса соленоида r , но намного меньше его длины. Известно, что индуктивность витка равна L . Виток был размещен в горизонтальной плоскости торца соленоида соосно с ним. Оказалось, что величина тока в обмотке соленоида в точности такова, что после отпускания виток завис неподвижно в этом положении. Вокруг витка были установлены непроводящие немагнитные гладкие направляющие, не позволяющие ему сдвигаться в горизонтальном направлении, но не мешающие двигаться в вертикальном. Виток подтолкнули вертикально вверх с небольшой скоростью, он немного сместился вверх (на расстояние, много меньшее R ), а затем вернулся назад. Найдите время, прошедшее от старта витка до его возвращения в исходное положение. Ускорение свободного падения равно g .

image.png

Решение

Виток после включения тока находится в равновесии – сила Ампера уравновешивает силу тяжести. Поскольку изначально (до включения тока в обмотке соленоида) магнитный поток через сверхпроводящий виток был равен нулю, то и в состоянии равновесия он должен быть равен нулю. Значит, поток поля соленоида через виток компенсируется потоком поля тока в витке. Вспомним структуру поля соленоида (см. лекцию 4). Магнитное поле внутри длинного тонкого соленоида практически однородно B_{in} = \mu_0 n I , и через поперечное сечение соленоида проходит магнитный поток \Phi_0 = B_{in} \cdot \pi r^2 = \mu_0 \pi n I r^2 . Этот поток вытекает из соленоида вблизи его торца, причем в «верхнее» полупространство уходит половина всего потока, а с расстояний, значительно превышающих радиус соленоида, расходящийся поток выглядит практически как сферически-симметричный. Таким образом, магнитный поток поля соленоида через виток равен \Phi_0 / 2 , а полный, с учетом собственного поля возникшего в витке тока I' – равен нулю: \frac{\Phi_0}{2} + L I' = 0 \Rightarrow I' = - \frac{\Phi_0}{2L}. Знак минус указывает, что направление тока в витке противоположно направлению тока в обмотке соленоида. Значит, виток будет отталкиваться от соленоида. Магнитное поле соленоида в плоскости торца радиально (направлена от оси соленоида), и на большом по сравнению с радиусом соленоида расстоянии R величина его индукции B(R) \approx \frac{\Phi_0}{4 \pi R^2} . Величина силы Ампера, действующей на виток, F_A = |I'| \cdot B(R) \cdot 2\pi R \approx \frac{\Phi_0^2}{4LR} . Если масса витка равна m , то mg \approx \frac{\Phi_0^2}{4LR} . Теперь изучим движение витка после толчка. При смещении витка на малое расстояние x \ll R от плоскости торца соленоида поток поля соленоида через него уменьшается на величину потока через «боковую» цилиндрическую поверхность между старым и новым положением витка, то есть \Phi(x) = \frac{\Phi_0}{2} - B(R) \cdot 2\pi R \cdot x = \frac{\Phi_0}{2} - \frac{\Phi_0 x}{2R} . Вместе с ним уменьшается и величина силы тока в витке |I'(x)| = \frac{\Phi_0}{2L} \left(1 - \frac{x}{R}\right) . Кроме того, уменьшается радиальная компонента индукции поля соленоида в точках расположения витка (вектор \vec{B} направлен от центра торца соленоида, и оказывается наклон к плоскости торца соленоида на угол \alpha \approx \arcsin(x/R) ): B_\perp (R) \approx \frac{\Phi_0}{4\pi R^2} \cos(\alpha) = \frac{\Phi_0}{4\pi R^2} \sqrt{1 - \left(\frac{x}{R}\right)^2} . Однако, как видно из этой формулы, здесь изменение оказывается намного меньше (порядка x^2/R^2 , в то время как изменение силы тока порядка x/R ). Таким образом, сила Ампера, действующая на сместившийся виток, равна F_A(x) \approx \frac{\Phi_0^2}{4LR} \left(1 - \frac{x}{R}\right) = mg \left(1 - \frac{x}{R}\right) . Уравнение движения витка при малых отклонениях от плоскости торца соленоида m a_x = mg \left(1 - \frac{x}{R}\right) - mg = -m \frac{g}{R} x оказывается уравнением гармонических колебаний. Оно в точности совпадает, например, с уравнением движения пружинного маятника с жесткостью пружины k = m \frac{g}{R} . Ясно, что при гармоническом колебании тело, запущенное из положения равновесия, возвращается в это положение через половину периода колебаний. Используя формулу для периода пружинного маятника ( T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} ), находим: t = \frac{T}{2} = \pi \sqrt{\frac{R}{g}} .

Ответ t = \pi \sqrt{\frac{R}{g}} .

Пример 8

Условие

В сверхпроводящей обмотке катушки из N витков без сердечника создан ток I , после чего обмотка замкнута накоротко. Длина катушки равна l , а площадь поперечного сечения S . Вдалеке от катушки находится сверхпроводящий цилиндрический стержень примерно такой же длины, но меньшего сечения, равного S/3 . Какую минимальную работу необходимо совершить, чтобы поместить стержень внутрь катушки?

Решение

Поскольку стержень сверхпроводящий, то магнитный поток через его сечение не изменяется, и в процессе перемещения стержня внутрь катушки поле в нем равно начальному, то есть практически нулю. Дело в том, что при попадании стержня в магнитное поле по его поверхности начинает течь ровно такой ток, чтобы его поле компенсировало внешнее. Катушка также сверхпроводящая, и магнитный поток через ее сечение тоже должен оставаться неизменным. Поскольку при помещении в катушку стержня площадь поперечного сечения области, в которой есть магнитное поле, уменьшилась: S' = S - \frac{1}{3}S = \frac{2}{3}S , то величина индукции поля в катушке увеличилась: BS = B'S' \Rightarrow B' = \frac{3}{2}B . Энергия магнитного поля в катушке E_L = \frac{L I^2}{2} = \frac{\mu_0 N^2 I^2}{2 l} S (с учетом формулы для индуктивности соленоида), а величина индукции B = \mu_0 \mu \frac{N}{l} I , поэтому E_L = \frac{B^2}{2\mu_0} l S . Мы снова обнаружили, что величина w_B = \frac{B^2}{2\mu_0} имеет смысл объемной плотности энергии магнитного поля. С учетом этого легко понять, что энергия магнитного поля в процессе «запихивания» стержня в катушку увеличивается: E_L' = \frac{B'^2}{2\mu_0} l S' = \frac{(1,5 B)^2}{2\mu_0} l \frac{2}{3}S = \frac{3}{2} \frac{B^2}{2\mu_0} l S = \frac{3}{2} E_L > E_L. Минимальная необходимая работа как раз и равна увеличению энергии: A_{\min} = E_L' - E_L = \frac{1}{2} E_L = \frac{\mu_0 N^2 I^2 S}{4 l}.

Ответ A_{\min} = \frac{\mu_0 N^2 I^2 S}{4 l} .