Использование магнитного потока в изучении магнитных систем.: Семинар 5

Пример 5

Условие

Пусть L - индуктивность кольца радиуса R , сделанного из тонкой проволоки.

1. Найдите индуктивность проволочного кольца, у которого все геометрические размеры отличаются в 2 раза.

Если в плоскости кольца радиуса R поместить сверхпроводящее колечко с вдвое меньшими геометрическими размерами так, чтобы плоскости колец и их центры совпадали, то индуктивность кольца радиуса R оказывается равной L_1 .

2. Какой станет индуктивность кольца радиуса R при помещении его внутрь сверхпроводящего кольца со вдвое большими геометрическими размерами? Плоскости и центры колец во втором случае также совпадают.

image.png

Решение

Прежде всего заметим, что индуктивность кольца пропорциональна его радиусу. В самом деле, величина магнитной индукции в каждой точке пространства уменьшается обратно пропорционально расстоянию (а все расстояния в системе можно связать с радиусом кольца), а площадь увеличивается пропорционально квадрату радиуса. При заданной величине тока в кольце магнитный поток через плоскость кольца, таким образом, прямо пропорционален радиусу. Поэтому ответ на первый вопрос находится легко: индуктивность кольца радиуса R/2 равна L/2 , а кольца радиуса 2R – 2L .

Соображение подобия относится и к взаимной индуктивности двух контуров – при увеличении всех геометрических размеров системы в 2 раза коэффициент взаимной индуктивности увеличивается в 2 раза. Таким образом, если коэффициент взаимной индуктивности колец радиусов R и R/2 равен L_{12} , то для колец радиусов 2R и R он будет равен 2L_{12} . Следовательно, магнитный поток через «малое» сверхпроводящее кольцо, который будет равен нулю из-за появления в нем тока I' , поток от которого сокращает поток от обычного кольца, записывается в виде \Phi' = L_{12} I - \frac{L}{2} I' = 0 , откуда находим, что I' = 2 \frac{L_{12}}{L} I . Тогда магнитный поток через кольцо радиуса R в первом случае \Phi_1 = L_1 I = L I - L_{12} I' = L I - \frac{2 L_{12}^2}{L} I = \left( L - \frac{2 L_{12}^2}{L} \right) I, и мы обнаруживаем, что L_1 = L - \frac{2 L_{12}^2}{L} . Аналогично выражение для нулевого магнитного потока через «большое» кольцо дает нам 2L_{12} I - 2L I'' = 0 \Rightarrow I'' = \frac{L_{12}}{L} I , и тогда для потока через кольцо радиуса R во втором случае \Phi_2 = L_2 I = L I - 2 L_{12} I'' = \left( L - \frac{2 L_{12}^2}{L} \right) I . Таким образом, мы обнаружили совпадение индуктивностей: L_2 = L - \frac{2 L_{12}^2}{L} = L_1 .

Ответ L_2 = L_1 .

Пример 6

Условие

На сверхпроводящий образец, парящий над полюсом электромагнита, положили маленький немагнитный непроводящий груз с массой, равной массе образца. Во сколько раз нужно увеличить ток в обмотке электромагнита, чтобы удержать образец с грузом на том же расстоянии от торца электромагнита, что и раньше?

Решение

Магнитный поток, создаваемый индукционным током, текущим по поверхности сверхпроводника, пропорционален силе этого тока I_{sc} . Так как он компенсирует магнитный поток поля электромагнита, то I_{sc} пропорциональна индукции магнитного поля электромагнита в месте расположения сверхпроводника B . Сила тяжести образца (сначала – без груза, затем – с грузом) уравновешивается силой Ампера, которая пропорциональна произведению I_{sc} \cdot B , то есть B^2 . Следовательно, для уравновешивания возросшей в 2 раза силы тяжести, необходимо увеличить индукцию поля электромагнита в \sqrt{2} раз. Ясно, что во столько же раз ( \sqrt{2} ) нужно увеличить и силу тока в обмотке электромагнита.

Ответ силу тока нужно увеличить в \sqrt{2} раз.