Задачи о магнитных диполях.: Семинар 4

Как мы уже знаем, на очень большом расстоянии от любого контура с током магнитное поле принимает «характерный» вид, который называют полем магнитного диполя. Диполь («двухполюсник») – это система двух зарядов, и в случае электрического поля именно так это система и реализуется. Но магнитных зарядов («магнитных монополей») в природе пока не обнаружено – все имеющиеся у нас магниты имеют два полюса (называемые обычно «северный» и «южный»). Более того – на атомно-молекулярном уровне частицы вещества могут быть как «микроскопическими» токами, так и «микромагнитами» с двумя полюсами. В макроскопическом мире диполями мы считаем либо «малые» по размеру контура с током, либо «малые» по размеру постоянные магниты (обычно «кусочки» ферромагнетика, намагниченные путем помещения в сильное внешнее магнитное поле, которые длительное время сохраняют свою намагниченность). Важно четко понимать, в чем на самом деле состоит это условие «малости» размеров. Это зависит от типа рассматриваемой задачи. При изучении магнитного поля, создаваемого контуром с током или постоянным магнитом, их размеры должны быть малы по сравнению с расстоянием от них до точки наблюдения. Например, именно в этом случае, как мы знаем, поле кругового тока с высокой точности совпадает с магнитным полем диполя \vec{B} \approx \frac{\mu_0}{4\pi} \left( \frac{3\vec{r}(\vec{m}\cdot\vec{r})}{r^5} - \frac{\vec{m}}{r^3} \right).

Величина \vec{m} называется магнитным дипольным моментом контура. Для плоского контура площадью S , расположенного в плоскости xy так, что ток в нем при взгляде «навстречу» оси z циркулирует против часовой стрелки, магнитный момент \vec{m} = I S \vec{e}_z .

При изучении действия поля, созданного внешними источниками, на контура с током или постоянные магниты, мы можем считать их магнитными диполями, если их размеры малы по сравнению с размерами «областей неоднородности» внешнего магнитного поля. Вспомним, например, что полная сила, действующая на диполь в однородном магнитном поле, равна нулю. Точно также равна нулю сила, действующая в однородном поле на любой замкнутый контур с током, то есть для магнитного поля, в котором неоднородность не заметна ни на каких расстояниях (размеры «областей неоднородности» очень велики), при описании силового действия даже «достаточно большой» контур с током ведет себя как диполь. Описание действия поля с индукцией \vec{B} на диполь \vec{m} удобнее всего строить на основе энергетических соображений, с использованием формулы энергии их взаимодействия: W = -(\vec{m} \cdot \vec{B}) . Следствием этого выражения является еще одна полезная формула: вектор момента сил, действующий на диполь во внешнем поле, равен \vec{M} = [\vec{m} \times \vec{B}] .

Пример 1

Условие

Однородная горизонтальная проводящая ось, свободно вращающаяся в закрепленных шарнирах, имеет изгиб в виде половины окружности радиуса a . По оси и изгибу течет ток I , масса изгиба m . В области, где находится изгиб, создано однородное вертикальное магнитное поле с индукцией B . Найти угол \alpha между плоскостью кольца и вертикалью в состоянии равновесия.

image.png

Указание: центр масс С однородной половины окружности радиуса a находится на расстоянии |OC| = l_c = \frac{2}{\pi}a от ее центра кривизны.

Решение

Так как внешнее поле однородно, мы можем при описании ее действия на ток в изгибе заменить изгиб на магнитный диполь с моментом \vec{m}_M , который направлен перпендикулярно плоскости изгиба, а его модуль m_M = \frac{\pi}{2}a^2 I . Здесь мы ввели индекс «М» («магнитный»), чтобы отличать модуль магнитного момента изгиба от его массы m . Потенциальная энергия изгиба во внешних полях (в поле тяжести и внешнем магнитном поле) зависит от угла отклонения и записывается как сумма соответствующих слагаемых: W(\alpha) = mgh_C - (\vec{m}_M \cdot \vec{B}) = mg \cdot \frac{2}{\pi}a [1 - \cos(\alpha)] - \frac{\pi a^2 I B}{2} \sin(\alpha). Здесь мы учли, что высота подъема центра масс кольца при повороте плоскости кольца на угол \alpha равна h_C = l_C \cdot [1 - \cos(\alpha)] , и что угол между векторами \vec{m}_M и \vec{B} равен \varphi = \frac{\pi}{2} - \alpha . Введем параметр z \equiv \frac{\pi^2 a B I}{4mg} и с его помощью перепишем это выражение так: W(\alpha) = \frac{2mga}{\pi} [1 - \cos(\alpha) - z \cdot \sin(\alpha)]. В состоянии равновесия энергия должна быть минимальна, то есть нужный нам угол отвечает максимуму функции f(\alpha) \equiv \cos(\alpha) + z \cdot \sin(\alpha) . Преобразуем это выражение с помощью введения «дополнительного» угла \varphi \equiv arctg(z) (у которого \sin(\varphi) = \frac{z}{\sqrt{1+z^2}} и \cos(\varphi) = \frac{1}{\sqrt{1+z^2}} ): \cos(\alpha) + z \cdot \sin(\alpha) = \sqrt{1+z^2} [\cos(\alpha)\cos(\varphi) + \sin(\alpha)\sin(\varphi)] = \sqrt{1+z^2} \cdot \cos(\alpha - \varphi). Ясно, что эта величина максимальна при \alpha = \varphi , когда косинус достигает своего максимального значения, равного 1. Итак, \alpha = arctg\left(\frac{\pi^2 a B I}{4mg}\right). Конечно, можно было найти максимум, приравнивая к нулю производную f'(\alpha) с тем же результатом (рекомендуется в это убедиться).

Ответ \alpha = arctg\left(\frac{\pi^2 a B I}{4mg}\right) .

Пример 2

Условие

По круговому контуру радиуса a течет постоянный ток I . Из точки, находящейся на большом расстоянии r \gg a от центра контура O запускают в направлении, перпендикулярном линии, соединяющей точку старта с O (в плоскости контура), маленький заряженный шарик. Скорость шарика подобрали так, что шарик стал двигаться по окружности вокруг O . Пренебрегая электромагнитным излучением, найдите период обращения шарика по этой окружности.

Решение

На больших расстояниях от контура его магнитное поле с хорошей точностью совпадает с полем магнитного диполя с магнитным моментом \vec{m}_M , величина которого m_M = I \cdot \pi a^2 , направленного перпендикулярно плоскости контура. Используя формулу для индукции поля магнитного диполя для точек в плоскости контура, находим: \vec{B}(r) \approx \frac{\mu_0}{4\pi} \left( \frac{3\vec{r}(\vec{m}_M \cdot \vec{r})}{r^5} - \frac{\vec{m}_M}{r^3} \right) = - \frac{\mu_0 I a^2}{4 r^3}. Здесь мы учли, что для точек в плоскости контура \vec{r} \perp \vec{m}_M , и поэтому (\vec{m}_M \cdot \vec{r}) = 0 . Значит, действующая на заряд сила Лоренца всегда будет лежать в плоскости контура, и, поскольку вектор начальной скорости по условию лежит в этой плоскости, все движение заряда по окружности будет происходить в этой же плоскости. Отметим, что, как обычно, сила Лоренца не совершает работы, и скорость заряженного шарика по модулю не изменяется. При этом именно сила Лоренца создает центростремительное ускорение: |q| v_0 B(r) = |q| v_0 \frac{\mu_0 I a^2}{4 r^3} = m \frac{v_0^2}{r} \Rightarrow v_0 = \frac{\mu_0 I |q| a^2}{4 m r^2}. Таким образом, для запуска движения по окружности нужно придать заряду именно такую по величине скорость, а ее направление должно быть выбрано так (в зависимости от знака заряда), чтобы сила Лоренца была направлена к точке О. Период обращении шарика равен T = \frac{2\pi r}{v_0} = \frac{8 \pi m r^3}{\mu_0 I |q| a^2}.

Ответ T = \frac{8 \pi m r^3}{\mu_0 I |q| a^2} .