Задачи о магнитных диполях.: Семинар 4

Пример 3

Условие

Маленький неодимовый магнит с магнитным моментом m_M закреплен шарнирно на гладкой горизонтальной оси, проходящей через центр масс, и помещен в однородное вертикальное магнитное поле. Магнит повернули так, что вектор его магнитного момента отклонился от вертикали а малый угол \alpha , а затем аккуратно отпустили. Пренебрегая электромагнитным излучением, определите, через какое время магнит впервые вернется в исходное состоянии (то есть в то, в котором он находился перед отпусканием). Указание: кинетическая энергия этого магнита при вращении вокруг горизонтальной оси, проходящей через центр масс, равна E_{кин} = \frac{I \omega^2}{2} , где I – известная константа.

Решение

Полная механическая энергия магнита во внешнем поле (в состоянии, в котором угловая скорость равна \omega и магнитный момент отклонен от вертикали на угол \alpha ) складывается из его кинетической энергии и энергии взаимодействия с полем: E = E_{кин} + W = \frac{I \omega^2}{2} - (\vec{m}_M \cdot \vec{B}) = \frac{I \omega^2}{2} - m_M B \cdot \cos(\alpha). Если мы пренебрегаем излучением, то эта энергия сохраняется в процессе движения. Далее воспользуемся аналогией с движением одной из стандартных систем, совершающих гармонические колебания – с математическим маятником (маленький массивный груз на конце невесомой нерастяжимой нити или невесомого недеформируемого стержня). Запишем энергию маятника через угловую скорость и угол отклонения от вертикали: E = \frac{m l^2 \omega^2}{2} + mgl (1 - \cos(\alpha)). Как мы знаем, потенциальная энергия определена с точностью до постоянного слагаемого, поэтому формулы эквивалентны с точностью до замены \left\{ \begin{aligned} m l^2 &\leftrightarrow I \\ mgl &\leftrightarrow m_M B \end{aligned} \right\} \Rightarrow \frac{m l^2 \omega^2}{2} - mgl \cdot \cos(\alpha) \leftrightarrow \frac{I \omega^2}{2} - m_M B \cdot \cos(\alpha). Одинаковость выражений приводит к одинаковости характера движения. Магнит вернется в начальное положение через период движения. Для математического маятника период T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} . По аналогии приходим к выводу, что искомое время t = 2\pi \sqrt{\frac{I}{m_M B}} .

Пример 4

Условие

Магнитный шнур – гибкий шнур длины l , каждый малый элемент которого является магнитом с осью, ориентированной вдоль шнура. Один из его концов закреплен на расстоянии l_1 > l от прямолинейного провода с током. Найти расстояние между концами шнура в состоянии равновесия. Найти расстояние от свободного конца шнура до провода в состоянии равновесия. Весом шнура и взаимодействием составляющих его магнитов пренебречь.

image.png

Указание: энергия взаимодействия малого элемента шнура \Delta l с магнитным полем с индукцией \vec{B} равна \Delta W = -k \cdot \Delta l \cdot B \cdot \cos(\varphi) , где \varphi - угол между \vec{B} и направлением шнура, а k > 0 - одинакова для всех точек шнура.

Решение

Прежде всего заметим, что линии магнитной индукции поля провода лежат в плоскости, перпендикулярной проводу. Поэтому силы, действующие на каждый элемент шнура (являющийся бесконечно малым магнитным диполем), тоже лежат в этой плоскости. Поэтому понятно, что в состоянии равновесия шнур расположится в плоскости, перпендикулярной проводу. В принципе это ясно и просто из соображений симметрии.

image.png

Во-вторых, отметим, что в состоянии равновесия энергия взаимодействия шнура с полем провода должна быть минимальной. Поле прямого провода |\vec{B}| = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} , а направление показано на рисунке. Поэтому энергия взаимодействия элемента шнура \Delta l с полем провода равна \Delta W = -k \cdot \Delta l \cdot \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} \cos(\varphi) . Но с точки зрения геометрии \frac{\Delta l}{r} \cos(\varphi) = \Delta \alpha , где \alpha – угол, под которым «виден» этот отрезок из ближайшей к нему точки шнура (на самом деле, из точки провода - прим. ред.). Таким образом, полная энергия взаимодействия шнура с полем равна W = \sum \Delta W = -\frac{k \mu_0 I}{2\pi} \sum \Delta \alpha = -\frac{k \mu_0 I}{2\pi} \alpha . Значит, для минимизации энергии нужно добиться, чтобы угол, под которым виден шнур из ближайшей к нему точки провода, был максимален. Ясно, что при фиксации положения одного конца шнура длины l область возможных положений свободного конца этого шнура находится внутри окружности радиуса l от точки закрепления. Поэтому максимум угла соответствует такому положению свободного конца, при котором прямая, проведенная от провода в точку, где располагается свободный конец – касательная к этой окружности (см. рисунок). Значит, шнур в положении равновесия расположится по прямой, так, что свободный конец будет находиться в вершине прямоугольного треугольника, две другие вершины которого – закрепленный конец шнура и ближайшая к нему точка провода. Следовательно, расстояние между концами шнура будет равно его длине l , а расстояние от свободного конца шнура до провода r = \sqrt{l_1^2 - l^2} .

image.png

Эту задачу можно решать и другим, очень эффектным способом. Для его реализации нужно понимать, что магнитная и электрическая составляющая электромагнитного взаимодействия в значительной мере симметричны: если бы существовали магнитные заряды («монополи»), то на каждый из них магнитное поле действовало бы в точности таким же образом, как электрическое поле на электрические заряды. Следовательно, на магнитные диполи, которые можно рассматривать как «пары» магнитных зарядов, магнитное поле действует точно так же, как электрическое поле на электрические диполи – пары электрических зарядов. Поэтому равновесное положение гибкого невесомого магнитного шнура в магнитном поле точно такое же, как равновесное положение гибкой невесомой цепочки из электрических диполей в электрическом поле с точно такой же конфигурацией (картиной силовых линий). Но в цепочке одинаково ориентированных одинаковых электрических диполей противоположные по знаку заряды соседних диполей оказываются в одной точке и компенсируют друг друга. Поэтому такая цепочка эквивалентна незаряженной гибкой невесомой цепочке, на концах которой находятся два одинаковых по величине и противоположных по знаку заряда. Если один из них закрепить, то сила, действующая на второй, будет растягивать цепочку за второй конец. В состоянии равновесия эта сила уравновешивается силой натяжения цепочки, и поэтому цепочка растянется вдоль прямой, совпадающей с направлением напряженности поля в точке расположения свободного конца (обратите внимание: этот вывод справедлив для любой конфигурации поля!). Для поля с конфигурацией поля прямого провода цепочка из электрических диполей в электрическом поле, как и магнитный шнур в магнитном поле, растянутся вдоль прямой, касательной к силовой линии (линии индукции) в точке расположения свободного конца. Мы приходим к той же геометрии, и к тем же ответам, что и в первом способе. Только без вычислений.