Основные законы магнитостатики

Часть II: Закон полного тока. Для знакомства с еще одним важным законом магнитостатики нам нужно сначала познакомиться с новой математической конструкцией. Рассмотрим магнитное поле в некоторой области пространства, которое задано вектором индукции $\vec{B}$ в каждой точке. Выберем в этой области пространства некоторую замкнутую кривую (контур с). Циркуляция вектора $\vec{B}$ по контуру с вычисляется следующим образом: контур разбивают на бесконечно малые элементы $d \vec{l}$ и вычисляются скалярные произведения ( $\vec{B} \cdot d \vec{l}$ ). Сумма этих скалярных произведений и есть циркуляция. Отметим, что направление векторов всех элементов таково, что они направлены по выбранному «направлению обхода контура». По сути, такая операция (суммирование бесконечно большого количества бесконечно малых вкладов) есть интегрирование вдоль замкнутого контура, поэтому ее обозначают символом $\oint_{c} \vec{B} \cdot d \vec{l}$. Кроме того, договоримся, что если плоскость контура («внутри» него) пересекают провода с током, то мы считаем каждый из этих токов положительным, если выбранное нами при вычислении циркуляции направление обхода при взгляде «навстречу току» мы видим положительным (против часовой стрелки). В противном случае мы этот ток считаем отрицательным. Алгебраическая сумма (с учетом присвоенных знаков «+» и «-») всех токов, пронизывающих контур, называют «полным током» этого контура. Теперь мы готовы сформулировать закон полного тока: Циркуляция вектора магнитной индукции по произвольному контуру в пространстве равна полному току, пронизывающему этот контур, умноженному на $\mu_{0}$ : $$ \oint\limits_{c} \vec{B} \cdot d \vec{l}=\mu_{0} \cdot I_{\text {in }} . $$ Подчеркнем, что вклад в циркуляцию магнитного поля тока, не пересекающего контур, равен нулю (хотя само поле, разумеется, ненулевое). Мы записали этот закон для магнитного поля токов в вакууме. Сделаем еще один шаг, и вспомним о влиянии на магнитное поле присутствия магнетиков. Как мы обсуждали, в присутствии магнетика во всем пространстве магнитная индукция при тех же токах, создающих поле, увеличивается в $\mu$ раз (эту величину мы назвали магнитной проницаемостью вещества). Значит, в однородном магнетике нам можно просто при записи закона полного тока добавить множитель $\mu$ в правую часть равенства. Но на самом деле есть более интересная возможность - записать этот закон так, чтобы его можно было применять для неоднородных магнетиков. Для этого нужно внести наш множитель (естественно, в минус первой степени) в левую часть равенства под знак интеграла. Тогда для каждого элемента мы будем учитывать влияние магнетика по значению проницаемости в той самой точке, в которой находится этот элемент. Эксперимент подтверждает, что именно такой способ верен для сред с переменной магнитной проницаемостью. Итак, наиболее общая форма закона полного тока в магнитостатике: $$ \oint\limits_{c} \frac{\vec{B}}{\mu} \cdot d \vec{l}=\mu_{0} \cdot I_{in} . $$