Задачи о контуре с током в магнитном поле.: Семинар 2

Пример 4

Условие

На жесткий немагнитный цилиндрический каркас радиуса a намотано N витков тонкого провода (плоскости всех витков перпендикулярны оси цилиндра), по которому течет ток с силой I . Найдите максимальную возможную величину момента сил Ампера, действующих на такой контур (такие контура часто называют «катушками»).

Решение

В этом случае мы должны понять, что момент сил Ампера, действующих на один виток (который является плоским неразветвленным контуром) в однородном магнитном поле максимален, когда плоскость витка параллельна линиям индукции, и тогда его величина равна произведению силы тока на величину индукции и на площадь витка, то есть M_{1\max} = IBS . Так как каркас катушки жесткий, то суммарный момент сил Ампера, приложенный к катушке, равен сумме моментов сил, приложенных к каждому витку, то есть M_{\max} = N M_{1\max} = NIBS = \pi NI B a^2.

Пример 5

Условие

Из медной проволоки изготовлен квадратный контур с перемычкой. Контур подключен к источнику постоянного напряжения U = 1,5 В между точками A и D и помещен в магнитное поле с индукцией B = 4 мТл , причем линии индукции лежат в плоскости контура и параллельны двум его сторонам. Найдите величину и направление силы, действующей на контур со стороны магнитного поля, а также величину и направление момента сил, поворачивающего контур вокруг оси АС. Удельное сопротивление проволоки \rho = 0,018 мкОм \cdot м , площадь сечения проволоки S = 3,6 мм^2 , длина стороны квадрата a = 1 м .

image.png

Решение

Сопротивление стороны квадрата R = \frac{\rho a}{S} , тогда сопротивление участка АС равно R\sqrt{2} , а участка АВС – 2R . Примем, что потенциал А выше потенциала D. Направления токов показаны на рисунке. Величины сил тока обозначим следующим образом: I_{AD} \equiv I_1 , I_{AC} \equiv I_2 , I_{ABC} \equiv I_3 и I_{CD} \equiv I_4 . Ясно, что I_1 = \frac{U}{R} , I_4 = I_2 + I_3 = \frac{U}{R + 2R/(\sqrt{2}+1)} = \frac{\sqrt{2}+1}{3+\sqrt{2}} \frac{U}{R} .

image.png

Далее находим, что I_2 = \frac{\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}\frac{U}{R} и I_3 = \frac{1}{3+\sqrt{2}}\frac{U}{R} . Силы Ампера, действующие на участки BC и AD, равны нулю. Определим силы Ампера, действующие на остальные участки. Сила, действующая на участок АВ равна F_3 = aBI_3 = \frac{1}{3+\sqrt{2}}\frac{aBU}{R} = \frac{1}{3+\sqrt{2}}\frac{BUS}{\rho} и направлена «от наблюдателя» перпендикулярно плоскости контура. Для участка АС F_2 = a\sqrt{2}BI_2 = \frac{\sqrt{2} BUS}{3+\sqrt{2} \rho} при том же направлении, а для CD F_4 = aBI_4 = \frac{\sqrt{2}+1}{3+\sqrt{2}}\frac{BUS}{\rho} с направлением «на наблюдателя». Суммарная сила F = F_3 + F_2 - F_4 = 0!

Точками приложения сил F_4 и F_3 можно считать середины участков CD и AB, поэтому они имеют одинаковые плечи по отношению к оси АС, равные l = \frac{a}{2\sqrt{2}} , к тому же направления создаваемого вращения одинаковы. Плечо силы F_2 равно нулю. Таким образом, момент сил M = \frac{a}{2\sqrt{2}}(F_4 + F_3) = \frac{\sqrt{2}+1}{2(3+\sqrt{2})}\frac{BUSa}{\rho} \approx 0,33 Н \cdot м . Этот момент создает направление вращения, при котором точка D движется «на наблюдателя». При изменении полярности напряжения сила остается равной нулю, величина момента остается прежней, а направление изменяется на противоположное.

Ответ F = 0 Н , при \varphi_A > \varphi_D величина момента сил M = \frac{\sqrt{2}+1}{2(3+\sqrt{2})}\frac{BUSa}{\rho} \approx 0,33 Н \cdot м , и он создает направление вращения, при котором точка D движется «на наблюдателя». При изменении полярности напряжения величина момента остается прежней, а направление изменяется на противоположное.