Изучение продольного дрейфа и ларморовского вращения: Семинар 3

Задача 5

Условие

Два электрона влетели в область пространства, в которой создано однородное магнитное поле: первый – перпендикулярно линиям индукции, второй – под углом \alpha = 30^\circ к ним. Величины их начальных скоростей отличались в два раза: \frac{v_2}{v_1} = 2 . Во сколько раз отличаются радиусы описываемых (в проекции на плоскость, перпендикулярную \vec{B} ) окружностей, периоды их обращения (в плоскости, перпендикулярной \vec{B} ) и величины путей, пройденных в этой области за одну секунду?

Решение

Из уравнения движения заряда в магнитном поле: \frac{m v_{\perp}^2}{R} = q v_{\perp} B (здесь v_{\perp} = v \sin \alpha - поперечная составляющая скорости заряда) найдем: радиус окружности R = \frac{m v_{\perp}}{qB} , период обращения T = \frac{2\pi R}{v_{\perp}} = 2\pi \frac{m}{qB} . Отсюда легко найти, что \frac{R_1}{R_2} = \frac{T_1}{T_2} = 1 . Поскольку величина скорости заряда в магнитном поле неизменна, то пройденные за одинаковое время пути пропорциональны величине скорости (несмотря на то, что траектория криволинейна), поэтому \frac{s_1}{s_2} = \frac{1}{2} .

Ответ \frac{R_1}{R_2} = \frac{T_1}{T_2} = 1, \quad \frac{s_1}{s_2} = \frac{1}{2} .

Задача 6

Условие

В однородном магнитном поле с индукцией B = 1,5 Тл , направленной вертикально вниз, равномерно вращается против часовой стрелки по окружности в горизонтальной плоскости маленький отрицательно заряженный шарик, подвешенный на нити длиной l = 1,25 м (конический маятник – см. рисунок). Угол отклонения нити от вертикали \alpha = 60^\circ , удельный заряд шарика равен \frac{|q|}{m} = 4 Кл/кг . Найдите угловую скорость вращения шарика. Ускорение свободного падения g \approx 10 м/с .

image.png

Решение

image.png

На шарик действуют сила натяжения нити, сила тяжести и сила Лоренца (см. рисунок). Поскольку траектория шарика лежит в горизонтальной плоскости, то вертикальная составляющая силы натяжения нити уравновешивает силу тяжести, то есть T \cos(\alpha) = mg . Сила Лоренца вместе с горизонтальной составляющей силы натяжения создают центростремительное ускорение m \omega^2 l \sin(\alpha) = T \sin(\alpha) + |q| v B . Так как v = \omega l \sin(\alpha) , то из этих уравнений следует, что \omega^2 - \frac{|q|}{m} B \omega - \frac{g}{l \cos(\alpha)} = 0 . Выбрав положительный корень, найдем, что \omega = \frac{|q|}{2m}B + \sqrt{\left(\frac{|q|}{2m}B\right)^2 + \frac{g}{l \cos(\alpha)}} = 8 рад/с.

Ответ \omega = 8 рад/с .

Задача 7

Условие

В точке на расстоянии r_0 = 2 мм от очень длинного прямолинейного провода с током с силой I = 1 кА располагается «жерло» ионной пушки, которая выстреливает ионы в направлении вдоль провода с начальной скоростью v_0 = 2 км/с . Из-за влияния магнитного поля через некоторое время вектор скорости иона повернулся так, что ион стал удаляться от провода в направлении, перпендикулярном ему. На каком расстоянии от провода находился ион в этот момент времени? Удельный заряд этого иона z \approx 10^6 Кл/кг .

image.png

Решение

image.png

Введем систему координат в плоскости, проходящей через провод и точку старта, так, как показано на рисунке. Индукция магнитного поля провода перпендикулярна этой плоскости, поэтому, если вектор скорости частицы лежит в ней, то и вектор силы Лоренца тоже лежит в этой плоскости. В нашем случае вектор начальной скорости частицы лежит в ней. Значит, в процессе дальнейшего движения частица всегда будет находиться в плоскости (xy) . При этом модуль ее скорости будет оставаться постоянным и равным v_0 . Кроме того, мы знаем, что индукция магнитного поля в нашей плоскости изменяется по закону B(x) = \frac{\mu_0 I}{2 \pi x} . Уравнения движения для частицы дают: \left\{

\begin{aligned}

\frac{dv_x}{dt} &= \frac{q B(x)}{m} v_y = \frac{\mu_0 z I}{2 \pi x} v_y \\

\frac{dv_y}{dt} &= - \frac{q B(x)}{m} v_x = - \frac{\mu_0 z I}{2 \pi x} \frac{dx}{dt}

\end{aligned}

\right. Здесь мы учли, что \frac{q}{m} = z . Из второго уравнения (с учетом того, что первообразной функции \frac{1}{x} является натуральный логарифм) находим: d v_y = - \frac{\mu_0 z I}{2 \pi} d(ln(\frac{x}{r_0})) . После суммирования всех малых изменений получаем закон изменения y -проекции скорости в зависимости от x : v_y = v_0 - \frac{\mu_0 z I}{2 \pi} \ln\left(\frac{x}{r_0}\right) . В нужный нам момент (когда x = r ) v_y = 0 .

Поэтому \frac{\mu_0 z I}{2 \pi} \ln\left(\frac{r}{r_0}\right) = v_0 \Rightarrow r = r_0 \exp\left(\frac{2 \pi v_0}{\mu_0 z I}\right) = r_0 \exp(10) \approx 44 м.

Как нетрудно заметить, в решении этой задачи мы по сути использовали интегрирование – можно было записать вычисление с его явным использованием: \int\limits_{v_0}^{0} d v_y = - v_0 = - \int\limits_{r_0}^{r} \frac{\mu_0 z I}{2 \pi} \frac{dx}{x} = - \frac{\mu_0 z I}{2 \pi} \ln\left(\frac{x}{r_0}\right)\bigg|_{r_0}^{r} = - \frac{\mu_0 z I}{2 \pi} \ln\left(\frac{r}{r_0}\right) \Rightarrow r = r_0 exp(\frac{2 \pi v_0}{\mu_0 z I})

Ответ 44 м.