Равновесие контура в магнитном поле.: Часть 3

Часть III: «Гибкий» контур. Равновесная форма контура.

В случае гибкого контура его форма изначально не известна. Для ее определения нам нужно будет провести анализ равновесия всех «малых» элементов контура, что довольно сильно усложняет задачу. Впрочем, есть один случай, для которого такой анализ оказывается не очень сложным. Это случай, когда из внешних сил, действующих на контур, есть только силы Ампера, а магнитное поле является однородным (то есть это случай 2a).

image.png

Рассмотрим равновесие (бесконечно) малого участка провода, не контактирующего с другими телами, имеющего радиус кривизны R и угловой размер \Delta \alpha . В нашем случае на этот участок действуют только сила Ампера со стороны магнитного поля и силы натяжения со стороны соседних участков контура. Запишем условия равновесия в проекциях на оси x (проходит по касательной к проводу в середине участка) и у (проходит через центр кривизны участка). Учтём, что сила Ампера F_{A}=I B \Delta I=I B R \Delta \alpha :

\left\{\begin{array}{l}

T_{1} \cos (\Delta \alpha / 2)=T_{2} \cos (\Delta \alpha / 2) \\

T_{1} \sin (\Delta \alpha / 2)+T_{2} \sin (\Delta \alpha / 2)=I B R \Delta \alpha

\end{array}\right. . Из первого уравнения следует, что натяжение провода постоянно: T_{1}=T_{2} \equiv T , из второго (с учётом того, что для малого \Delta \alpha выполняется равенство \sin (\Delta \alpha / 2) \approx \Delta \alpha / 2) - что радиус кривизны постоянен на «свободных» участках провода: R=T /(I B)= const. Значит, эти участки - дуги окружностей. Одновременно мы замечаем, что сила натяжения - конечная величина, а остальные силы (сила Ампера, сила реакции «соседних» тел - для тех элементов, где есть контакт провода с такими телами) для любого элемента - бесконечно малые величины (порядка \Delta l ), поэтому угол поворота провода на любом участке - тоже бесконечно малая величина порядка \Delta l . Это означает, что в состоянии равновесия гибкий провод не имеет изломов. Таким образом, мы теперь знаем форму гибкого контура в однородном магнитном поле - все свободные участки являются дугами окружностей, а участки, соприкасающиеся с твердыми внешними телами, принимают форму поверхности этих тел.

Пример 3: Очень легкий и гибкий провод подвешен шарнирно за концы. К этим шарнирам подведены провода, позволяющие подавать на них напряжение от аккумулятора (см. рисунок). В области пространства, в которой располагается провод, создано горизонтальное магнитное поле с индукцией B , перпендикулярное плоскости его подвеса. Расстояние между точками подвеса провода равно d , а его длина L . Ключ замыкают, и по проводу течет ток с силой I . Найдите силу натяжения провода после установления равновесия. Магнитное поле, создаваемое током в проводе, намного слабее внешнего поля.

image.png

Решение:

image.png

Из теории мы знаем, что гибкий провод примет форму дуги окружности некоторого радиуса R : Пусть \alpha - половина углового размера этой дуги (см. рисунок). Тогда длина провода связана с соотношением L=2 R \cdot \alpha . С другой стороны, длина хорды этой дуги соответствует расстоянию между шарнирами: d=2 R \cdot \sin (\alpha) . Таким образом, радиус кривизны провода в состоянии равновесия определяется по значениям d и L из уравнения d=2 R \cdot \sin \left(\frac{L}{2 R}\right) , а затем сила натяжения находится по формуле T=I B R . Конечно, уравнение для радиуса - трансцендентное, и в общем виде его аналитически не решить. Технически удобно решать его так: записать уравнение на \alpha в виде \frac{\sin (\alpha)}{\alpha}=\frac{d}{L} , и решить его, например, графически (или, если получится - подбором). Ясно, что всегда хорда короче дуги (то есть d<L ), а функция \frac{\sin (\alpha)}{\alpha} монотонно убывает от 1 до 0 при значениях угла от 0 до 180^{\circ} . Значит, всегда существует решение этого уравнения в нужном диапазоне значений \alpha . Потом, по найденному \alpha , можно найти радиус и вычислить T=\frac{I B L}{2 \alpha} . Например, если для нашего провода \frac{d}{L}=\frac{3}{\pi} \approx 0,955 , то можно заметить, что \alpha=\frac{\pi}{6} , и тогда ясно, что радиус кривизны провода R=d , а T=I B d .

Очень легкий и гибкий провод расстелен по гладкой горизонтальной поверхности и его концы прикреплены к небольшим шарнирам с неподвижными вертикальными осями. Известно, что длина провода больше, чем расстояние между шарнирами (равное 40 см ) в \frac{\pi}{2\sqrt{2}} \approx 1,111 раз. По проводу течет ток с силой 1,414 А, а в пространстве, где он находится, создано внешнее однородное вертикальное магнитное поле с индукцией 0,15 Тл. Провод неподвижен. Найдите силу его натяжения. Ответ запишите в ньютонах, с точностью до сотых.