Примеры расчета магнитных полей и сил Ампера.: Часть 3

Задача 6

Условие

Длинный полый картонный цилиндр радиуса r может вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси. К его боковой поверхности прикреплен один из концов непроводящей заряженной нити, свободно свисающей вниз. Полный заряд нити Q , длина нити L>>2 \pi r . В момент времени t=0 цилиндр начинают вращать вокруг его оси так, что смещение свободного конца нити зависит от времени по закону x(t)=\alpha \sqrt{t} , где \alpha - известная постоянная величина. При этом нить плотно, виток к витку, наматывается на цилиндр. Какова будет индукция B магнитного поля на оси цилиндра вдали от его концов после того, как на цилиндр намотается достаточно много витков, т.е. когда длина l обмотки (см. рисунок) будет значительно превышать диаметр цилиндра? Влиянием прямого участка нити на магнитное поле внутри цилиндра можно пренебречь. Магнитная постоянная \mu_{0} .

image.png

Решение

Скорость движения нити в момент времени t равна v(t)=\dot{x}(t)=\frac{\alpha}{2 \sqrt{t}} , где точкой обозначена производная по времени. Число витков, намотанных на цилиндр в этот момент, N(t)=\frac{x}{2 \pi r}=\frac{\alpha \sqrt{t}}{2 \pi r} . Сила тока, протекающего в одном витке, I(t)=\frac{Q}{L} v(t)=\frac{Q \alpha}{2 L \sqrt{t}} . Магнитная индукция на оси длинного соленоида вдали от его концов B=\mu_{0} \frac{N}{l} I . С помощью этого выражения, находим B=\mu_{0} \frac{Q \alpha^{2}}{4 \pi r l L} .

Ответ B=\mu_{0} \frac{Q \alpha^{2}}{4 \pi r l L} .

Задача 7*

Условие

В замкнутом контуре, по которому течет ток I , выделен прямой участок длины L . Найдите вклад этого участка в индукцию магнитного поля в произвольной точке наблюдения P . Положение точки задано расстоянием r до нее от прямой, на которой лежит этот участок и расстоянием a от проекции точки наблюдения на эту прямую до «верхнего» конца участка (см. рисунок).

Решение

image.png

Обозначим L-a \equiv b , и направим координатную ось z вдоль нашего участка, а начало отсчета координаты совместим с проекцией точки наблюдения на прямую. Учитывая симметрию поля отрезка относительно любых поворотов вокруг оси z , будем считать, что точка наблюдения лежит в плоскости z x (то есть ось х проходит через нее). Выделим на нашем отрезке прямой бесконечно малый элемент тока d \vec{l}=d z \cdot \vec{e}_{z} (мы, как обычно используем «единичные» вектора координатных осей), и используем закон Био-Савара-Лапласа: вклад этого элемента тока в индукцию в точке наблюдения

d \vec{B}=\frac{\mu_{0} I}{4 \pi} \frac{\left[d \vec{l} \times \vec{r}^{\prime}\right]}{r^{\prime 3}}, где \vec{r}^{\prime}=r \cdot \vec{e}_{x}-z \cdot \vec{e}_{z} - вектор, соединяющий d \vec{l} с точкой наблюдения. Заметим, что \left[d \vec{l} \times \vec{r}^{\prime}\right]=d z\left\{r\left[\vec{e}_{z} \times \vec{e}_{x}\right]-z\left[\vec{e}_{z} \times \vec{e}_{z}\right]\right\}=\vec{e}_{y} \cdot r \cdot d z , то есть вклады всех элементов отрезка направлены по оси y (по рисунку - «от нас»). Значит, туда же направлено и поле прямого отрезка. С учетом того, что r^{\prime}=\sqrt{r^{2}+z^{2}} , сумма все вкладов дает

\vec{B}=\frac{\mu_{0} I}{4 \pi} r \vec{e}_{y} \int\limits_{-b}^{+a} \frac{d z}{\left(r^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}} . Как и при вычислении поля бесконечного линейного тока, при вычислении этого интеграла удобно сделать замену z=r \cdot tg(\varphi): d z=r \frac{d \varphi}{\cos ^{2} \varphi},\left(r^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}=\frac{r^{3}}{\cos ^{3} \varphi} , при этом пределы интегрирования изменяются следующим образом:

z=-b \leftrightarrow \varphi=-\beta \equiv-\arcsin \left(\frac{b}{\sqrt{b^{2}+r^{2}}}\right), z=+a \leftrightarrow \varphi=\alpha \equiv \arcsin \left(\frac{a}{\sqrt{a^{2}+r^{2}}}\right), и в результате

\vec{B}=\frac{\mu_{0} I}{4 \pi r} \vec{e}_{y} \int\limits_{-\beta}^{+\alpha} \cos \varphi d \varphi=\frac{\mu_{0} I}{4 \pi r} \vec{e}_{y}(\sin (\alpha)-\sin (-\beta))=\frac{\mu_{0} I}{4 \pi r} \vec{e}_{y}\left(\frac{a}{\sqrt{a^{2}+r^{2}}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+r^{2}}}\right) . Конечно, мы должны использовать эту формулу для вычисления вклада отрезка в полное поле замкнутого контура. Но если весь контур состоит из прямых отрезков, мы с помощью этой формулы можем вычислить все поле. Например, точка в центре квадратного контура со стороной а одинаково расположена по отношению ко всем четырем сторонам квадрата, а вклад в индукцию одной стороны вычисляется по нашей формуле с a=b=r \rightarrow \frac{a}{2} , причем все четыре вклада сонаправлены. Поэтому вектор магнитной индукции в центре квадратного контура направлен перпендикулярно плоскости контура, а ее величина

|\vec{B}|=2 \sqrt{2} \frac{\mu_{0} I}{\pi a} . Ответ |\vec{B}|=2 \sqrt{2} \frac{\mu_{0} I}{\pi a} .

Воздушный соленоид имеет радиус 2 см и длину 50 см. По его обмотке, состоящей из 500 равномерно намотанных витков, течет ток с силой 1 А. Внутри него, соосно с ним, расположено кольцо радиусом 1 см, по которому течет ток 10 А. Направление витков в обмотке соленоида и витка противоположно. Чему равна магнитная индукция в центре кольца? Ответ запишите в мТл, с точностью до сотых.

Внутри длинного тонкого воздушного соленоида, по обмотке которого течет ток 12 А, величина индукции магнитного поля равна 15 мТл. Внутрь этого соленоида, поддерживая ток в его обмотке неизменным, плотно вставили другой (чуть меньшего радиуса), имевший в два раза меньшую длину и такое же число витков, в обмотке которого создали ток 8 А, текущий в том же направлении, что и у первого соленоида. При этом второй соленоид был заполнен магнетиком с магнитной проницаемостью \mu = 200 . Найдите индукцию магнитного поля на оси получившегося «двойного» соленоида в его центре. Ответ запишите в Тл, с точностью до целого значения.