Примеры расчета магнитных полей и сил Ампера.: Часть 4

Задача 8*

Условие

Исследуем магнитное поле кругового кольца с током в произвольной точке, но на «больших» расстояниях от кольца ( r>>R ). Этот пример демонстрирует, как проводится последовательный анализ сложных выражений, содержащих малые параметры.

Решение

image.png

Введем систему координат, совместив начало координат с центром кольца, а плоскость ( x y ) - с плоскостью кольца. Поскольку картина поля очевидно не изменяется при поворотах вокруг оси z , поместим точку наблюдения в плоскость ( x z ). Тогда радиус-вектор точки наблюдения будем записывать с помощью постоянных «единичных» (с длиной, равной 1) векторов, направленных по координатным осям: \vec{r}=x \cdot \vec{e}_{x}+z \cdot \vec{e}_{z} . Положение элемента тока d \vec{l} на кольце можно характеризовать углом поворота \alpha , отсчитываемым от оси x . Тогда радиусвектор элемента тока \vec{R}=R\left(\cos \alpha \cdot \vec{e}_{x}+\sin \alpha \cdot \vec{e}_{y}\right) , а сам вектор d \vec{l}=R\left(-\sin \alpha \cdot \vec{e}_{x}+\cos \alpha \cdot \vec{e}_{y}\right) d \alpha . Вектор, соединяющий элемент тока и точку наблюдения:

\vec{r}^{\prime}=\vec{r}-\vec{R}=(x-R \cos \alpha) \cdot \vec{e}_{x}-R \sin \alpha \cdot \vec{e}_{y}+z \cdot \vec{e}_{z} Вычислим конструкции, входящие в формулу закона БСЛ:

\begin{aligned}

r^{\prime 3}= & {\left[(x-R \cos \alpha)^{2}+(R \sin \alpha)^{2}+z^{2}\right]^{3 / 2}=\left[r^{2}+R^{2}-2 x R \cos \alpha\right]^{3 / 2}\left(x^{2}+z^{2}=r^{2}\right), } \\

& {\left[d \vec{l} \times \vec{r}^{\prime}\right]=[d \vec{l} \times \vec{r}]-[d \vec{l} \times \vec{R}]=\left[z \cos \alpha \cdot \vec{e}_{x}+z \sin \alpha \cdot \vec{e}_{y}+(R-x \cos \alpha) \cdot \vec{e}_{z}\right] }

\end{aligned} С учетом того, что мы ищем поле на больших расстояниях от кольца, будем учитывать только поправки первой степени по \frac{R}{r} . Тогда

\frac{1}{r^{\prime 3}}=\frac{1}{r^{3}}\left[1-2 \frac{x R}{r^{2}} \cos \alpha+\frac{R^{2}}{r^{2}}\right]^{-3 / 2} \approx \frac{1}{r^{3}}\left(1+\frac{3 x R}{r^{2}} \cos \alpha\right) . Значит,

\begin{aligned}

& \vec{B} \approx \frac{\mu_{0} I R^{2 \pi}}{4 \pi r^{3}} \int\limits_{0}^{2 \pi} d \alpha\left[z \cos \alpha \cdot \vec{e}_{x}+z \sin \alpha \cdot \vec{e}_{y}+(R-x \cos \alpha) \cdot \vec{e}_{z}\right]\left(1+\frac{3 x R}{r^{2}} \cos \alpha\right) \approx \\

\approx & \frac{\mu_{0} I R}{4 \pi r^{3}}\left\{\frac{3 x z R}{r^{2}} \pi \cdot \vec{e}_{x}+\left(R 2 \pi-\frac{3 x^{2} R}{r^{2}} \pi\right) \cdot \vec{e}_{z}\right\}=\frac{\mu_{0} I R^{2}}{4 r^{3}}\left\{\frac{3 x z}{r^{2}} \cdot \vec{e}_{x}+\left(2-\frac{3 x^{2}}{r^{2}}\right) \cdot \vec{e}_{z}\right\}

\end{aligned} (здесь учтено, что \int\limits_{0}^{2 \pi} d \alpha \cos \alpha=\int\limits_{0}^{2 \pi} d \alpha \sin \alpha=\int\limits_{0}^{2 \pi} d \alpha \sin \alpha \cos \alpha=0 , \int\limits_{0}^{2 \pi} d \alpha \cos ^{2} \alpha=\pi ).

С учетом симметрии задачи ясно, что такая картина магнитного поля должна наблюдаться не только в плоскости ( x z ), но и в любой другой «осевой» плоскости. Поэтому, используя вектор магнитного дипольного момента плоского контура \vec{m} \equiv I S \vec{e}_{z} , где площадь контура S \equiv \pi R^{2} , формулу для поля кольцевого тока на больших расстояниях можно переписать в виде формулы для поля диполя:

\left.\vec{B}\right|_{r \gg R} \approx \frac{\mu_{0}}{4 \pi}\left(\frac{3 \vec{r}(\vec{m} \cdot \vec{r})}{r^{5}}-\frac{\vec{m}}{r^{3}}\right) . Ответ \left.\vec{B}\right|_{r \gg R} \approx \frac{\mu_{0}}{4 \pi}\left(\frac{3 \vec{r}(\vec{m} \cdot \vec{r})}{r^{5}}-\frac{\vec{m}}{r^{3}}\right) .

Прямолинейный коаксиальный провод имеет следующее устройства: в поперечном сечении он состоит из центральной жилы радиусом a = 1 мм (медный проводник, по которому течет ток с силой I = 16 А, равномерно распределенный по сечению), слоя изоляции толщиной d = 0{,}5 мм из непроводящего магнетика с \mu = 10 , и внешней жилы с внешним радиусом b = 2{,}5 мм (медный проводник, по которому тот же ток с силой I = 16 А течет в обратном направлении). Найдите величину индукции магнитного поля на расстоянии r = 2{,}0 мм от оси провода.

Рисунок - к условию задачи

Ответ запишите в мТл с точностью до десятых.