Сила Лоренца. Динамика зарядов в магнитном поле.: Лекция 5

Часть II: Однородное поле. Продольный дрейф и ларморовское вращение.

Начнем с самого простого случая – движения в однородном магнитном поле (индукция не только постоянна, но и одинакова во всей рассматриваемой области пространства). В этом случае следует разделить общее движение частицы на два независимых движения: вдоль магнитного поля и «поперек» него. В самом, если частица движется вдоль поля, то сила Лоренца равна нулю, и частица будет двигаться равномерно и прямолинейно. Такое движение называют продольным дрейфом. Можно сделать общий вывод: компонента скорости частицы \vec{v}_{\parallel} вдоль однородного магнитного поля не изменяется ни по величине, ни по направлению. Но при этом и полная величина скорости является постоянной. Таким образом, составляющая скорости, перпендикулярная однородному магнитному полю, по величине тоже не изменилась – только по направлению.

Пример 3: Ион влетел в область, в которой было создано однородное постоянное магнитное под, в точке А, углом 60 ^\circ к линиям индукции на расстоянии 5 мм от непроводящей поверхности кристалла и врезался в эту поверхность в точке В, лежащей в точности на той же линии индукции, что и точка А, спустя 20 мкс. Найдите величину скорости иона в точках А и В. Известно, что поверхность кристалла перпендикулярна линиям индукции магнитного поля.

Решение: Сразу отметим, что величина скорости заряженной частицы в магнитном поле не изменяется, поэтому в точках А и В она одинакова. Конечно, частица не движется по прямой, но ее проекция на линию индукции сохраняется и все время равна v_{\parallel} = v \cos(60^\circ) = \frac{v}{2} . Значит, смещение частицы вдоль лини индукции за время полета d = \frac{v}{2} t \Rightarrow v = \frac{2d}{t} = 500 м/с.

Ответ: v = \frac{2d}{t} = 500 м/с.

Поскольку модуль полной скорости не изменяется, не меняется и модуль ее составляющей \vec{v}_{\perp} , перпендикулярной магнитному полю. Поэтому при движении частицы в плоскости, перпендикулярной \vec{B} , не изменяется и модуль ее ускорения a_{\perp} = \frac{|q| v_{\perp} B}{m} . Ускорение и скорость частицы в этой плоскости все время поворачиваются, оставаясь перпендикулярными (то есть ускорение является центростремительным) и неизменными по величине. Это означает, что движение является равномерным вращением по окружности, радиус которой определяется из уравнения для центростремительной компоненты ускорения: m \frac{v_{\perp}^2}{R} = |q| v_{\perp} B \Rightarrow R = \frac{m v_{\perp}}{|q| B} . Такое движение называют ларморовским вращением. Легко определить все его характеристики: радиус мы уже вычислили (его также часто называют ларморовским радиусом), период обращения по ларморовской окружности T = \frac{2 \pi R}{v_{\perp}} = \frac{2 \pi m}{|q| B} , а угловая скорость – ларморовская частота – равна \omega = \frac{|q| B}{m} . Важный момент: период обращения и угловая скорость не зависят от скорости частицы – только от ее удельного заряда и индукции магнитного поля.

Рассмотрим пример «почти качественной» задачи.

Пример 4: В область, в которой создано однородное магнитное поле, влетел протон с кинетической энергией E . Затем в ту же область влетела \alpha -частица с такой же кинетической энергией. Во сколько раз во втором случае отличались (от первого) скорость и период обращения частиц? Обе частицы двигались в плоскости, перпендикулярной вектору магнитной индукции.

Решение: Соотношение скоростей определить довольно легко: так как кинетические энергии частиц одинаковы, то \frac{m_p v_p^2}{2} = E = \frac{m_\alpha v_\alpha^2}{2} \Rightarrow v_\alpha = \sqrt{\frac{m_p}{m_\alpha}} v_p \approx \frac{1}{2} v_p, поскольку масса \alpha -частицы примерно в 4 раза больше массы протона. Период вращения определяется удельным зарядом частицы: T_p = \frac{2 \pi m_p}{|q_p| B} = \frac{2 \pi m_p}{e B} \Rightarrow T_\alpha = \frac{2 \pi m_\alpha}{|q_\alpha| B} \approx \frac{2 \pi \cdot 4 m_p}{2 e B} = 2 T_p.

Следующий пример требует более полного количественного анализа движения.

Пример 5: Протон и \alpha -частица движутся по окружностям в однородном магнитном поле. Величина скорости \alpha -частицы в 2 раза больше величины скорости протона. Найдите отношение радиусов траекторий частиц \frac{R_\alpha}{R_p} = ?

Решение: Поскольку движение частиц происходит по окружностям, то они движутся в плоскости, перпендикулярной магнитному полю. Центростремительное ускорение частицы с зарядом q и массой m при движении по окружности радиуса R со скоростью v создается силой Лоренца: m \frac{v^2}{R} = q v B \Rightarrow R = \frac{m v}{q B} . Поэтому \frac{R_\alpha}{R_p} = \frac{m_\alpha}{m_p} \frac{q_p}{q_\alpha} \frac{v_\alpha}{v_p} \approx 4 \times \frac{1}{2} \times 2 = 4 .

Мы обнаружили, что параметры орбиты частицы в магнитном поле (радиус, направление вращения) зависят от величины удельного заряда и знака заряда частицы. Экспериментаторы в установках могут наблюдать траектории частиц непосредственно как «следы», оставленные частицей, ионизирующей вещество (их обычно называют «треками» частиц). Таким образом, по этим трекам можно отличать частицы с разными зарядами и массами (например, протоны от электронов или \alpha -частиц).

Часть III: Общее движение в однородном поле.

image.png Если же скорость частицы будет иметь и составляющую, параллельную полю, и составляющую, перпендикулярную полю, то движение будет комбинацией двух разобранных, то есть частица будет двигаться по винтовой линии. Эту линию можно себе представить, вообразив себе частицу, вращающуюся по окружности, центр которой «дрейфует» (то есть движется равномерно и прямолинейно) в направлении, перпендикулярном плоскости окружности (см. рисунок).

Пример 6: Найти шаг винтовой линии d , то есть расстояние, на которое смещается движущаяся по ней точка вдоль оси винта за один полный оборот вокруг этой оси. Частица с зарядом q и массой m влетела в область, в которой создано однородное постоянное магнитное поле с индукцией B со скоростью v под углом \alpha к направлению линий индукции.

Решение: Ось винтовой линии, по которой движется заряженная частица в однородном постоянном магнитном поле, направлена вдоль вектора магнитной индукции поля – ведь именно в этом направлении частица и совершает «дрейфовое» движение. Понятно, что за один оборот вокруг оси частица возвращается на «ту же» линию магнитной индукции, и происходит это за время, равное периоду вращения частицы в плоскости, перпендикулярной полю (за ларморовский период) T = \frac{2 \pi m}{|q| B} . В направлении дрейфа в течение этого времени частица двигалась со скоростью v_{\parallel} = v \cos(\alpha) . Следовательно, d = v_{\parallel} T = \frac{2 \pi m \cos(\alpha)}{|q| B} v .

Итак, если мы можем пренебречь потерями на излучение электромагнитных волн, то мы знаем все варианты движения заряженной частицы в однородном постоянном магнитном поле:

движение по прямой с постоянной скоростью (продольный дрейф) – вдоль линий магнитной индукции,

равномерное вращение по окружности (ларморовское вращение) – в плоскости, перпендикулярной линиям магнитной индукции,

равномерное движение по винтовой линии – если частица имеет ненулевые продольную и поперечные составляющие скорости.