Магнитные диполи: поле диполя и взаимодействие диполя с внешним полем.

Пример 4: Магнитный диполь с магнитным моментом $\vec{m}_1$ закреплен неподвижно. Другой диполь, с магнитным моментом $\vec{m}_2$, находится на расстоянии $r$ от первого, на линии, идущей вдоль вектора $\vec{m}_1$. а) Вычислить силу, действующую на второй диполь, как функцию угла $\alpha$ между $\vec{m}_1$ и $\vec{m}_2$. б) Вычислить момент сил, действующий на второй диполь, как функцию этого угла. Решение: При заданном расположении пары диполей вычислим: $(\vec{m}_1 \cdot \vec{m}_2) = m_1 m_2 \cos(\alpha)$, $(\vec{m}_2 \cdot \vec{r}) = m_2 r \cos(\alpha)$ и $(\vec{m}_1 \cdot \vec{r}) = m_1 r$. Поэтому $W_{12} = -2\frac{m_1 m_2}{r^3} \cos(\alpha)$. Если не позволять второму диполю вращаться, но разрешить малые смещения, то перемещающая его сила взаимодействия будет направлена вдоль линии, соединяющей диполи и равна $F_r = -\frac{\partial W_{12}}{\partial r} = -\frac{6 m_1 m_2 \cos(\alpha)}{r^4}$. Если закрепить его и оставить возможность поворота, то вращающий момент сил $M = -\frac{\partial W_{12}}{\partial \alpha} = -\frac{2 m_1 m_2 \sin(\alpha)}{r^3}$. Как видно, в зависимости от ориентации магнитных моментов диполи могу притягиваться либо отталкиваться, а у закрепленных диполей есть два положения равновесия (момент обращается в ноль) – устойчивое ($\alpha = 0$) и неустойчивое ($\alpha = \pi$). Таким образом, поведение «двухполюсников» соответствует привычному представлению о том, что их противоположные полюса притягиваются, а одноименные отталкиваются.