Магнитные диполи: поле диполя и взаимодействие диполя с внешним полем.: Лекция 6

Пример 4: Магнитный диполь с магнитным моментом \vec{m}_1 закреплен неподвижно. Другой диполь, с магнитным моментом \vec{m}_2 , находится на расстоянии r от первого, на линии, идущей вдоль вектора \vec{m}_1 . а) Вычислить силу, действующую на второй диполь, как функцию угла \alpha между \vec{m}_1 и \vec{m}_2 . б) Вычислить момент сил, действующий на второй диполь, как функцию этого угла.

Решение: При заданном расположении пары диполей вычислим: (\vec{m}_1 \cdot \vec{m}_2) = m_1 m_2 \cos(\alpha) , (\vec{m}_2 \cdot \vec{r}) = m_2 r \cos(\alpha) и (\vec{m}_1 \cdot \vec{r}) = m_1 r . Поэтому W_{12} = -2\frac{m_1 m_2}{r^3} \cos(\alpha) . Если не позволять второму диполю вращаться, но разрешить малые смещения, то перемещающая его сила взаимодействия будет направлена вдоль линии, соединяющей диполи и равна F_r = -\frac{\partial W_{12}}{\partial r} = -\frac{6 m_1 m_2 \cos(\alpha)}{r^4} . Если закрепить его и оставить возможность поворота, то вращающий момент сил M = -\frac{\partial W_{12}}{\partial \alpha} = -\frac{2 m_1 m_2 \sin(\alpha)}{r^3} . Как видно, в зависимости от ориентации магнитных моментов диполи могу притягиваться либо отталкиваться, а у закрепленных диполей есть два положения равновесия (момент обращается в ноль) – устойчивое ( \alpha = 0 ) и неустойчивое ( \alpha = \pi ). Таким образом, поведение «двухполюсников» соответствует привычному представлению о том, что их противоположные полюса притягиваются, а одноименные отталкиваются.