Магнитные диполи: поле диполя и взаимодействие диполя с внешним полем.: Лекция 6

Часть II: Энергия диполя во внешнем поле. Силы и моменты сил.

Как будет реагировать магнитный диполь на магнитное поле, созданное внешними источниками? Мы ранее проводили анализ действия магнитного поля на контур с током. Так как «маленький» контур с током «очень похож» на диполь, то мы можем воспользоваться результатом этого анализа и перенести все его выводы на поведение диполя. Например, результирующая сила Ампера, действующая на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю независимо от размеров контура. Следовательно, и сила, действующая со стороны однородного магнитного поля на «точечный» диполь, должна быть равна нулю. Но при этом на контур действует ненулевой момент сил, стремящийся развернуть контур так, что его плоскость будет перпендикулярна вектору индукции, причем вектор нормали к плоскости контура (выбранный так, чтобы при взгляде «навстречу» ему ток обходил контур в положительном направлении – против часовой стрелки). Отметим, что при определении \vec{m} мы выбирали его направление точно так же. Значит, на диполь в магнитном поле будет действовать момент сил, разворачивающий вектор его магнитного момента к направлению магнитной индукции этого поля. А в неоднородном поле должна появляться сила, «затаскивающая» магнитный диполь в область с большей величиной индукции. В принципе на базе этой аналогии можно получить формулы, позволяющие рассчитывать силы и моменты сил, действующих на магнитный диполь во внешнем поле.

Нам будет удобнее использовать другой путь. Для этого нужно изучить понятие энергии взаимодействия магнитного диполя с внешним магнитным полем. Действительно, если мы вносим диполь во внешнее магнитное поле, общее магнитное поле – согласно принципу суперпозиции – окажется векторной суммой полей диполя и внешних источников (если, конечно, сами эти источники и диполь не изменяются в процессе внесения). При этом энергия поля изменится – она уже не будет равно сумме энергий «поля одних внешних источников» и «поля одного диполя». Разность между этими энергиями – это и есть энергия взаимодействия: W = E_{вн+д} - E_{вн} - E_{д}. Ясно, что если разнести источники и диполь «очень далеко», то их поля окажутся разделены, и окажется, что E_{вн+д} = E_{вн} + E_{д} , то есть энергия взаимодействия стремится к нулю при разнесении объектов на большое расстояние. Тогда положительное значение энергии взаимодействии соответствует силам отталкивания (они должны совершать положительную работу при удалении диполя от источников), а отрицательное – силам притяжения. В этом смысле она ведет себя как обычная потенциальная энергия системы, и ее изменение равно работе магнитных сил, взятой с противоположным знаком. Значит, мы можем связать энергию с действующими на диполь силами (если внешние источники неподвижны): например, если диполь перемещается вдоль координатной оси x , то \Delta W = -F_x \cdot \Delta x \Rightarrow F_x = -\frac{\Delta W}{\Delta x} = -W'_x . Значит, компонента силы равна взятой со знаком «минус» производной энергии взаимодействия по соответствующей координате. Аналогично момент силы связан с работой сил при повороте тела, и момент относительно оси можно вычислять как взятую со знаком «минус» производную энергии взаимодействия по углу поворота вокруг этой оси: M_\alpha = -\frac{\Delta W}{\Delta \alpha} = -W'_\alpha .

Но как вычислить эту энергию? Один из возможных подходов может опираться на общую природу электрических и магнитных сил. Например, выражения для электрического поля электрического диполя и магнитного поля магнитного диполя одинаковы, и описание их взаимодействия с внешними полями строится также. Энергия электрического диполя с дипольным моментом \vec{d} в электрическом поле \vec{E} имеет вид W_E = -(\vec{d} \cdot \vec{E}) , и по аналогии можно записать в такой же форме формулу для энергии магнитного диполя \vec{m} в поле с индукцией \vec{B} : W = -(\vec{m} \cdot \vec{B}). В частности, из этого выражения видно, что в однородном поле на диполь с постоянным магнитным моментом сила не действует (энергия не зависит от координат), что в неоднородном поле диполю «энергетически выгодно» смещаться в область с большей величиной индукции, и что устойчивое состояние равновесия для диполя соответствует ориентации момента диполя по направлению индукции магнитного поля. Можно также показать, что момент сил, действующий на диполь во внешнем поле, можно записать в векторной форме: \vec{M} = [\vec{m} \times \vec{B}] .

Пример 2: Магнитный диполь с моментом \vec{m} помещен в однородное магнитное поле с индукцией B . Определите вращательный момент сил, действующих на диполь со стороны магнитного поля при заданном значении угла \alpha между векторами \vec{m} и \vec{B} .

image.png

Решение: Энергия взаимодействия диполя с магнитным полем W = -(\vec{m} \cdot \vec{B}) = -mB \cdot \cos(\alpha) . В этой формуле примем, что угол отсчитывается в положительном направлении (против часовой стрелки, как показано на рисунке). Следовательно, момент сил, действующих на диполь стороны поля M(\alpha) = -W'_\alpha = -mB \cdot \sin(\alpha) . Знак минус указывает, что этот момент пытается повернуть диполь к положению \alpha = 0 , то есть, как мы и ожидали, разворачивает его по направлению магнитной индукции. Положения равновесия отвечают нулевым значениям момента: \alpha = 0 (это устойчивое равновесие – так как это минимум энергии и при отклонении от него момент сил уменьшает это отклонение) и \alpha = \pi (неустойчивое равновесие, максимум энергии).

В неоднородном поле энергия зависит от координаты, и на диполь действует ненулевая сила.

Пример 3: В некоторой области пространства создано магнитное поле, всюду направленное вдоль оси z , величина индукции которого линейно зависит от x : \vec{B} = B \cdot (1 - \beta \cdot x) \cdot \vec{e}_z . В эту область, рядом с началом координат, помещен магнитный диполь, момент которого ориентирован по оси z . Определите силу, действующую на диполь.

image.png

Решение: В этом случае сразу можно понять, что мы уже развернули диполь так, что он имеет энергетически самую выгодную ориентацию. Поэтому он не будет вращаться. Но энергия взаимодействия его с полем зависит от координаты x : W = -(\vec{m}\vec{B}) = mB \cdot (1 - \beta \cdot x) , и на диполь действует сила, направленная параллельно оси x : F_x = -W'_x = -\beta m B. Это постоянная сила, направленная против оси x . Ясно, что под действием этой силы диполь будет двигаться равноускоренно в область с большей величиной индукции – тоже против оси x .

Интересный вопрос – описание взаимодействия магнитных диполей. Объединяя формулы для поля диполя и энергии магнитного момента во внешнем поле, получаем формулу для энергии взаимодействия двух диполей W_{12} = \frac{\mu_0}{4\pi} \left( \frac{(\vec{m}_1 \cdot \vec{m}_2)}{r^3} - \frac{3(\vec{m}_1 \cdot \vec{r})(\vec{m}_2 \cdot \vec{r})}{r^5} \right). Дифференцируя выражение для энергии по координатам, можно получить выражения для компонент силы взаимодействия, а при дифференцировании по углу поворота вокруг некоторой оси – выражение для соответствующего момента сил.