Тригонометрические функции со сложным аргументом: Часть 5

Видео

Конспект

Задача 5.8.

Условие

Решите уравнение \operatorname{ctg} \left( \frac{\pi}{2} \cos x \right) = \operatorname{tg} \left( \frac{\pi}{2} \sin x \right)

Решение

Запишем условия, при которых функции, входящие в уравнение, имеют смысл: \left\{\begin{array}{l}

\sin \left( \frac{\pi}{2} \cos x \right)\ne 0 \\

\cos \left( \frac{\pi}{2} \sin x \right)\ne 0

\end{array}\right.

\Longleftrightarrow \Longleftrightarrow

\left\{\begin{array}{l}

\frac{\pi}{2} \cos x\ne \pi n, n\in \mathbb{Z}, \\

\frac{\pi}{2} \sin x \ne \frac{\pi}{2}+\pi m,m\in \mathbb{Z},

\end{array}\right.

\Longleftrightarrow \Longleftrightarrow

\left\{\begin{array}{l}

\frac{\pi}{2} \cos x\ne \pi n,n\in \mathbb{Z}, \\

\frac{\pi}{2} \sin x \ne \frac{\pi}{2}+\pi m, m\in \mathbb{Z}.

\end{array}\right. Отсюда получаем, что \cos c\ne 0 и \sin x\ne 1 , так как в системе подходят только n=m=0 . Следовательно, x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n . Обозначим \alpha=\frac{\pi}{2} \cos x и \beta=\frac{\pi}{2} \sin x . Тогда исходное уравнение имеет вид \operatorname{ctg}\alpha=\operatorname{tg}\beta , откуда получаем, переходя к синусам и косинусам, уравнение \cos(\alpha+\beta)=0\Longleftrightarrow \alpha+\beta=\frac{\pi}{2}+\pi m, m\in \mathbb{Z}. Возвращаясь переменной x , получаем \cos x+\sin x=1+2m, m\in \mathbb{Z}. Решение существует только при m=0 и m=-1 .

Преобразуем левую часть уравнения, вводя вспомогательный аргумент, и получим два уравнения: \sqrt 2\sin\left( x+\frac{\pi}{4}\right)=1 и \sqrt 2\sin\left( x+\frac{\pi}{4}\right)=-1 . Решая их и учитывая условие x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n , получаем решение x=\pi n, n\in \mathbb{Z} .

Ответ x=\pi n, n\in \mathbb{Z} .

Иногда в уравнении под знаком тригонометрической функции стоит не просто другая функция, а целое выражение. Но это не должно нас пугать, надо просто аккуратно и последовательно решать задачу.

Пример 5.9.

Условие

Решите уравнение 2 \sin \left(3 \cos 3x + 6 \sin 2x \cdot \sin x \right) = 1.

Решение

Здесь внешняя функция простая, поэтому сразу преобразуем уравнение к виду 3 \cos 3x + 6 \sin 2x \cdot \sin x =(-1)^n \frac{\pi}{6}+\pi n~~ n

\in \mathbb{Z}. Теперь применим формулу, преобразующую произведение двух синусов в левой части уравнения в разность косинусов: \begin{array}{l}

3\cos 3x + 6 \sin 2x \cdot \sin x = \\

\qquad = 3\cos 3x+3\cos(2x-x)-3\cos(2x+x) = 3\cos x. \vphantom{F^\Sigma}

\end{array} Получили уравнение 3\cos x=(-1)^n \frac{\pi}{6}+\pi n \Longleftrightarrow \cos x=(-1)^n

\frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3},~~ n \in \mathbb{Z}. Учтем, что |\cos x|\leqslant 1 . Для отбора решений, удовлетворяющих этому условию, начинаем подставлять значения n=0 , n=\pm 1 и так далее. Как правило, процесс подстановки не затягивается. В данном случае убеждаемся, что подходят только два значения n=0 , n=1 . Отсюда получаем ответ.

Ответ x = \pm \arccos \left(\frac{\pi}{18} \right) + 2\pi n ; \pm \arccos \left(\frac{5\pi}{18} \right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} .

Задача 5.10.

Условие

Решите уравнение \operatorname{tg} \left( \frac{1}{\cos^2x}+2\operatorname{tg} x-2\right)=\frac{1}{ \sqrt{3}}.

Решение

Так же, как и в предыдущем примере, сначала решим уравнение \operatorname{tg}\alpha =\frac{1}{ \sqrt{3}}, тогда получим \frac{1}{\cos^2x}+2\operatorname{tg} x-2=\frac{\pi}{6}+\pi n\Longleftrightarrow\operatorname{tg}^2 x+2\operatorname{tg} x-\frac{\pi}{6}-\pi n,\in \mathbb{Z}. Решая квадратное уравнение относительно \operatorname{tg} x , получаем \operatorname{tg} x= -1\pm \sqrt{2+\frac{\pi}{6}+\pi n} , где подкоренное выражение неотрицательно только при целых n\geq 0 .

Ответ x= \operatorname{arctg} \left(-1 \pm \sqrt{2+\frac{\pi}{6} +\pi n}\right)+\pi m , n\geqslant 0 ; m, n \in \mathbb{Z} \vphantom{\int\limits_1^2} .