Тригонометрические функции со сложным аргументом: Часть 4
Математика, 10 класс
Задача 5.6. Условие Решите уравнение \operatorname{tg}^2 \left( x^2 \right)-\frac{1}{\cos^2 x}=-1. Рассмотрим еще одно уравнение, в котором аргумент тригонометрической функции сам является тригонометр...
Видео
Конспект
Задача 5.6.
Условие
Решите уравнение \operatorname{tg}^2 \left( x^2 \right)-\frac{1}{\cos^2 x}=-1.
Рассмотрим еще одно уравнение, в котором аргумент тригонометрической функции сам является тригонометрической функцией.
Пример 5.7.
Условие
Решите уравнение \operatorname{tg} \left( \frac{\pi}{2} \cos x \right) = \operatorname{ctg} \left( \frac{\pi}{2} \sin x \right).
Решение
Начнем с очень важной в данном случае части решения - с области допустимых значений: \left \{ \begin{array}{l}
\frac{\pi}{2} \cos x \neq \frac{\pi}{2}+\pi n, \quad n \in
\mathbb{Z},\\
\frac{\pi}{2} \sin x\neq \pi n, \quad n \in
\mathbb{Z},
\end{array} \right . и в дальнейшем будем решать задачу, считая что эти условия выполнены. Обозначим \alpha=\frac{\pi}{2} \cos x и \beta=\frac{\pi}{2} \sin
x . Тогда получаем \begin{array}{l}
\operatorname{tg} \alpha=\operatorname{ctg}\beta~~\Longleftrightarrow~~\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=
\frac{\cos\beta}{\sin\beta}~~\Longleftrightarrow \\
\qquad \sin\alpha\sin\beta-\cos\alpha\cos\beta=0
~~\Longleftrightarrow~~\cos(\alpha+\beta)=0.
\end{array} Наше уравнение относительно \alpha и \beta свелось к простейшему уравнению, решение которого имеет вид \alpha+\beta=\frac{\pi}{2}+\pi n,~~ n \in
\mathbb{Z}. Теперь вернемся к переменной x : \begin{array}{l}
\frac{\pi}{2} \cos x + \frac{\pi}{2} \sin x=\frac{\pi}{2} +
\pi n, ~n \in \mathbb{Z} \Longleftrightarrow \\
\Longleftrightarrow \frac{1}{2} (\sin x+\cos x)=\frac{1}{2}+n,~ n \in \mathbb{Z}.
\end{array} \tag{5.1} Однако \sin x+\cos
x=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right) , и, следовательно, -\sqrt{2} \leqslant \sin x+\cos x \leqslant \sqrt{2}. Поэтому (5.1) верно только для n=0 и n=-1 . Таким образом, исходное уравнение сводится к двум простым уравнениям, решения которых легко находятся. Пусть сначала n=0 . Тогда \sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1~~\Longleftrightarrow~~x+\frac{\pi}{4}=(-1)^k\frac{\pi}{4}+\pi k
, ~~ k \in \mathbb{Z}. Тогда одно из решений уравнения, x=\frac{\pi}{2}+2\pi m , соответствующее k=2m+1 , удовлетворяет ОДЗ, а другое, x= 2\pi m , соответствующее k=2m , - не попадает в область допустимых значений. Решая аналогично уравнение для n=-1 и учитывая ОДЗ, получаем вторую серию решений: x=
-\frac{\pi}{2}+2\pi m .
Ответ x = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z} .