Обратные тригонометрические функции: Часть 1

Видео

Конспект

Обратные тригонометрические функции

Сначала рассмотрим функцию y(x) = \sin x . Каждому значению x соответствует единственное значение y , но одному y соответствует бесконечное число значений x . Однако, если рассматривать один из промежутков монотонности функции y(x) = \sin x , то на данном промежутке можно определить обратную функцию x = \varphi

(y) , так как каждому y соответствует единственное x . Выберем отрезок x \in [- \pi/2, \pi/2] , на котором функция y(x) = \sin x монотонно возрастает, ее область значений есть [-1,1] . Тогда обратная функция y(x) = arcsin x имеет область определения [-1,1] , а множество значений - отрезок [-\pi/2,\pi/2] . График функции y = arcsin x приведен на рисунке 1.7. Очевидно, что данная функция является нечетной.

Trig_45 Аналогично для y(x) = \cos x вводится обратная функция y = arccos x . Ее областью определения, как и в случае функции y = arcsin x , также является отрезок [-1,1] , но областью значений для этой функции выбран промежуток [0,\pi] , так как именно при 0 \leqslant x \leqslant \pi функция y(x) = \cos x является монотонной (монотонно убывающей). График функции y = arccos x приведен на рисунке 7. Функции tg x и \ctg x на периоде монотонно возрастают и убывают соответственно, поэтому для них выбраны области существования обратных функций (-\pi/2, \pi/2) для tg x и (0, \pi) для \ctg x . Графики функций y = arctg x и y = arcctg x приведены на рисунке 8.

Trig_54 Итак, y = arcsin x,~~ y\in [-\pi/2,\pi/2],~~ \sin y=x; y = arccos x,~~ y\in [0,\pi],~~ \cos y=x; y = arctg x,~~ y\in (-\pi/2,\pi/2),~~ tg y=x; y = arcctg x,~~ y\in (0,\pi),~~ \ctg y=x.

Решим задачи с помощью определения обратных тригонометрических функций, а также применяя основные формулы.

Пример 6.1.

Условие

Докажите, что \sin\left(2arccos\frac{12}{13}\right)=\frac{120}{169}.

Доказательство

Обозначим \alpha=arccos\frac{12}{13} . Тогда получаем по определению, что \cos \alpha= \frac{12}{13} . Для вычисления \sin\left(2arccos\frac{12}{13}\right)=\sin\left(2\alpha\right)=2\sin \alpha \cos \alpha нужно найти только \sin \alpha , так как \cos \alpha дано в условии. Учитывая, что по определению 0 \leqslant \alpha\leqslant \pi , а в этой области \sin \alpha \geqslant 0 , найдем \sin \alpha =\sqrt{1-\cos^2 \alpha}= \frac{5}{13} .

В итоге получаем 2\cdot \frac{5}{13} \cdot \frac{12}{13}=\frac{120}{169} , что и требовалось доказать.

Ответ ч.т.д.

Задача 6.2.

Условие

Докажите, что tgarcsin\left(-\frac{3}{\sqrt{10}}\right)=-3.

Доказательство

Сначала в силу нечетности входящих функций можно избавиться от знака минус: tgarcsin\frac{3}{\sqrt{10}}=3 . Обозначим \alpha=arcsin\frac{3}{\sqrt{10}} , -\frac{\pi}{2}\leq \alpha\leq\frac{\pi}{2}. Сформулируем задачу по-новому: надо найти tg \alpha , если известен \sin \alpha=\frac{3}{\sqrt{10}} . tg^2\alpha+1=\frac{1}{\cos^2 \alpha}\Longleftrightarrow tg\alpha=\sqrt{\frac{1}{1-\sin^2 \alpha}-1} Выбрано положительное значение корня, так как в области -\frac{\pi}{2}\leq \alpha\leq\frac{\pi}{2} tg \alpha\geq 0 . Подставляя значение \sin \alpha=\frac{3}{\sqrt{10}} , получаем, что tg\alpha=3 , что и требовалось доказать.

Ответ ч.т.д.

Рассмотрим еще одну задачу этого типа.

Пример 6.3.

Условие

Докажите, что arcsin\frac{3}{5}+arcsin\frac{5}{13}=arcsin\frac{56}{65}.

Доказательство

Обозначим \alpha=arcsin\frac{3}{5} и \beta=arcsin\frac{5}{13} , причем \alpha,\beta, \alpha+\beta \in \left[0; \frac{\pi}{2}\right] . Предположим, что исходное равенство верно. Тогда \alpha+\beta=arcsin\frac{56}{65}. Если равны аргументы, то равны и их синусы: \sin(\alpha+\beta)=\frac{56}{65}\Longleftrightarrow \sin\alpha\cos \beta+\cos \alpha \sin \beta=\frac{56}{65}. Как и в предыдущем примере, имеем, что \sin \alpha=\frac{3}{5},~~\sin \beta=\frac{5}{13} , \cos \alpha=\frac{4}{5},~~\cos \beta=\frac{12}{13} . Тогда \sin(\alpha+\beta)= \frac{3}{5} \cdot \frac{12}{13}+\frac{4}{5}\cdot \frac{5}{13}=\frac{56}{65}. Мы получили тождество. Двигаясь обратным путем, с учетом области изменения \alpha и \beta , придем к тому, что и исходное равенство верно.

Ответ ч.т.д.

Задача 6.4.

Условие

Докажите, что arccos\sqrt{\frac{2}{3}}-arccos\frac{\sqrt{6}+1}{2\sqrt{3}}=\frac{\pi}{6}.

Совет Рассмотрите \cos \left(arccos\sqrt{\frac{2}{3}}-\frac{\pi}{6}\right).

Доказательство

Воспользуемся советом, обозначив arccos\sqrt{\frac{2}{3}}=\alpha и учтя, что \sin \alpha=\sqrt{1-\frac{2}{3}} : \cos \left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)=\cos \alpha\cos \frac{\pi}{6}+\sin \alpha\sin \frac{\pi}{6}=\sqrt{\frac{2}{3}}\cdot\frac{\sqrt 3}{2}+\sqrt{\frac{1}{3}}\cdot\frac{1}{2}. Приведя дроби к общему знаменателю, получим \cos \alpha= \frac{\sqrt{6}+1}{2\sqrt{3}} , что и доказывает тождество.

Ответ ч.т.д.