Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами Часть 1: Часть 1
Математика, 10 класс
Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами В тригонометрических задачах с параметрами встречаются как обычные логические трудности, связанные с наличием параметров, так и специфические п...
Видео
Конспект
Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами
В тригонометрических задачах с параметрами встречаются как обычные логические трудности, связанные с наличием параметров, так и специфические проблемы, порожденные свойствами тригонометрических функций. Сначала рассмотрим те задачи, которые легко сводятся к уже известным задачам с параметром для квадратного трехчлена.
Пример 8.1.
Условие
Найдите все значения параметра a , при каждом из которых для любого x выполнено неравенство: a^{2} + 2a - \sin^{2} x - 2a
\cos x > 2.
Решение
Здесь очевидная замена \cos x = t сводит исходное неравенство к квадратичному неравенству: \begin{array}{l}
a^{2} + 2a - \sin^{2} x - 2a \cos x > 2\Longleftrightarrow \\
a^{2} + 2a + \cos^{2} x -1- 2a \cos x > 2\Longleftrightarrow
t^2-2at+a^2+2a-3>0,
\end{array} где t=\cos x . Однако, если в исходной задаче неизвестная величина x могла принимать любые значения, то в полученном неравенстве требуется найти все значения параметра, при которых неравенство выполняется для всех \left| t \right| \leq 1 в силу ограниченности области изменения функции \cos x .
В разделе, посвященном уравнениям и неравенствам с параметрами, было показано, что для этого параметр a должен удовлетворять следующим условиям:
\left[\begin{array}{l}
D<0\\
\left\{\begin{array}{l}
D \geq 0\\
\left[\begin{array}{l}
\left\{\begin{array}{l}
f(-1) > 0\\
t_{0} < - 1\\
\end{array} \right.\\
\left\{\begin{array}{l}
f(1) > 0\\
t_{0}>1
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array} \right. , \tag{8.1} где t_{0} есть координата вершины параболы, f(t)=t^2-2at+a^2+2a-3 , а D - дискриминант квадратного трехчлена t^2-2at+a^2+2a-3 . Из рисунка 1.18 видно,
trig_52 что при D<0 неравенство выполняется для всех t (ветви параболы направлены вверх), а значит и в интересующий нас области (сплошная линия); оставшиеся возможные расположения парабол показаны на рисунке пунктиром.
Полученные соотношения (8.1) можно записать как \left[\begin{array}{l}
3-2a<0\\
\left\{\begin{array}{l}
3-2a \geq 0\\
\left[\begin{array}{l}
\left\{\begin{array}{l}
a^2+4a-2 > 0\\
a<-1\\
\end{array} \right.\\
\left\{\begin{array}{l}
a^2-2 > 0\\
a>1
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array} \right. . Решая систему методом интервалов, получаем ответ.
Ответ a \in \left( - \infty; - 2 - \sqrt 6 \right) \cup \left( \sqrt 2; + \infty \right) .
Задача 8.2.
Условие
Найдите все значения параметра a , при каждом из которых для любого x выполнено неравенство: \cos^{2} x + 2a
\sin x - 2a < a^{2} - 4 .
Решение
Введем новую переменную t=\sin x и переформулируем задачу: Найти все значения параметра a , при каждом из которых для любого |t|\leq 1 выполнено неравенство 1-t^2 + 2a t - 2a < a^{2} - 4. Параметр a должен удовлетворять следующим условиям: \left[\begin{array}{l}
D<0\\
\left\{\begin{array}{l}
D \geq 0\\
\left[\begin{array}{l}
\left\{\begin{array}{l}
f(-1) > 0\\
t_{0} < - 1\\
\end{array} \right.\\
\left\{\begin{array}{l}
f(1) > 0\\
t_{0}>1
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array} \right. .
\tag{8.2} где t_{0} есть координата вершины параболы, f(t)=t^2 -2a t + a^2+2a -5 , а D=-2a+5 - дискриминант квадратного трехчлена. Тогда \left[\begin{array}{l}
-2a+5<0\\
\left\{\begin{array}{l}
-2a +5\geq 0\\
\left[\begin{array}{l}
\left\{\begin{array}{l}
a^2+4a-4 > 0\\
a<-1\\
\end{array} \right.\\
\left\{\begin{array}{l}
a^2-4 > 0\\
a>1
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array} \right. . Решая систему и объединяя результаты совокупности, получаем ответ.
Ответ a \in \left( - \infty; - 2 - \sqrt 8 \right) \cup \left( 2; + \infty \right) .