Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами Часть 1: Часть 3

Видео

Конспект

Задача 8.6.

Условие

Для каждого значения a найдите все решения уравнения принадлежащие промежутку \pi \leq x \leq 2\pi : \cos 2x + 2\sin^2(x + a) + 2 - \sin a = 0.

Решение

Преобразуя второе слагаемое по формуле косинуса двойного аргумента и используя формулу суммы косинусов, мы получаем простое выражение для тригонометрической функции неизвестной величины \cos

2x : \begin{array}{l}

\cos 2x + 2\sin ^2(x + a) +2 - \sin a =

0 \Longleftrightarrow \\

\qquad \cos 2x + 1-\cos (2x + 2a) +2 - \sin a = 0

\Longleftrightarrow \\

\qquad \cos 2x + \cos (2x + 2a) + \cos a = 3

\Longleftrightarrow

\left\{\begin{array}{l}

\cos 2x = -1, \\

\cos (2x + 2a) = 1, \\

\sin a = 1.

\end{array} \right.

\end{array} Решения последней системы существуют при \sin a=1, то есть при a=\frac{\pi}{2}+2\pi n, n\in \mathbb{Z} . При этих значениях a второе уравнение системы дает \cos (2x+2a)=\cos (2x+\pi n+4\pi n)=-1 и его решения совпадают с решениями первого уравнения: x=\frac{\pi}{2}+\pi n, n\in \mathbb{Z} . Важно не забыть учесть ограничения на область изменения переменной в условии задачи. Учитывая заданный промежуток изменения x , получаем ответ.

Ответ если a = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} , x = 2\pi ; если a = \pi/2 + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} , x = 3\pi/2 ; при других a решений нет.

Встречаются задачи, в которых требуется определить число решений уравнения или системы уравнений в зависимости от параметра, не находя сами решения. Подобные задачи часто удобно решать графически.

Пример 8.7.

Условие

Найдите, при каких значениях параметра a уравнение имеет ровно три корня, расположенные на отрезке \left[ {\frac{2\pi }{3};\pi } \right] : \sin^2 3x - (a + 0.5)\sin 3x + \frac{a}{2} = 0.

Решение

Еще раз подчеркнем, что в задаче не требуется находить неизвестную величину x , а нужно только определить значения параметра, при которых решение удовлетворяет заданному условию. Если рассмотреть данное уравнение как квадратное относительно \sin 3x , то можно с радостью убедиться, что дискриминант представляет собой полный квадрат. (Кстати, всегда в таких задачах стоит попробовать вычислить дискриминант - вдруг повезет?) Удобно сделать замену t=3x. Тогда, если \frac{2\pi}{3}\leq x\leq

\pi , то 2\pi \leq 3x \leq 3\pi , следовательно, t\in \left[ 2\pi,3\pi \right] . Получаем два корня квадратного уравнения: \sin t = \frac{1}{2} ; \sin t=

a .

trig_53 Из графика видно, что на интересующем нас отрезке получится два решения за счет первого корня, следовательно, второй корень должен давать только одно решение. Очевидно, это возможно только при a = 1 .

Ответ a = 1 .

Задача 8.8.

Условие

Найдите a , при которых уравнение имеет на отрезке \left[ {\frac{\pi}{8};\frac{5\pi }{8}} \right] ровно 4 корня: \cos ^2 4x - (a - 3) \cos 4x = 0.

Решение

Если область изменения x есть \left[ {\frac{\pi}{8};\frac{5\pi }{8}} \right] , то t=4x\in \left[ {\frac{\pi}{2};\frac{5\pi }{2}} \right] . Квадратное уравнение для \cos t имеет два корня : \cos t=0 , что дает три корня на заданном промежутке, тогда \cos t=a-3 должен дать один корень, что возможно только при a-3=\pm 1 .

Ответ a = 2, \quad 4 .

Задача 8.9.

Условие

Для каждого значения a найдите число решений уравнения принадлежащих отрезку 0 \leq x \leq 2\pi : a \operatorname{tg} x + \cos 2x = 1.

Решение

В этой задаче не требуется находить сами решения уравнения. Оказывается, можно опять применить графический метод решения после преобразования уравнения к более удобному виду (надо перейти к функциям аргумента x ).

Ответ если a < - 1 , a = 0 , a > 1 - 3 решения; если a = 1 , a = - 1 - 5 решений; если - 1 < a < 0 , 0 < a < 1 - 7 решений.