Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами Часть 1: Часть 2
Математика, 10 класс
Пример 8.3. Условие При каких значениях a уравнение имеет ровно одно решение на промежутке x \in [0; 2\pi) : \cos 2x + 2 \cos x - 2a^2 - 2a + 1 = 0. Решение Преобразуем уравнение, сведя его к квадратн...
Видео
Конспект
Пример 8.3.
Условие
При каких значениях a уравнение имеет ровно одно решение на промежутке x \in [0; 2\pi) : \cos 2x + 2 \cos x - 2a^2 - 2a + 1 = 0.
Решение
Преобразуем уравнение, сведя его к квадратному относительно \cos x : 2\cos^2 x - 1 + 2 \cos x - 2a^2 - 2a + 1 = 0, \cos^2 x + \cos x - a^2 - a = 0. Отсюда \cos x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4a^2 + 4a}}{2} = \frac{- 1 \pm (2a + 1)}{2}
\Longleftrightarrow
\left[\begin{array}{l}
\cos x = - a - 1, \\
\cos x = - a.
\end{array} \right. Для того, чтобы исходное уравнение на промежутке [0; 2\pi) имело ровно один корень, нужно, чтобы один из корней уравнения относительно \cos x был равен 1 или - 1 (это обеспечит одно решение), а другой был по модулю больше 1 (это обеспечит отсутствие других решений). Рассмотрим два случая.
1. \left\{\begin{array}{l}
\left[\begin{array}{l}
- a - 1 = 1, \\
- a - 1 = - 1, \\
\end{array} \right.\\
|a| > 1, \vphantom{A^T}\\
\end{array} \right.
\Longleftrightarrow
\left\{\begin{array}{l}
\left[\begin{array}{l}
a = - 2, \\
a = 0, \\
\end{array} \right.\\
|a| > 1, \vphantom{A^T}\\
\end{array} \right.
\Longleftrightarrow
a = - 2.
2. \left\{\begin{array}{l}
\left[\begin{array}{l}
a = 1, \\
a = - 1, \\
\end{array} \right.\\
|a + 1| > 1, \vphantom{A^T}\\
\end{array} \right.
\Longleftrightarrow
a = 1.
Ответ a = - 2, \quad 1 .
Задача 8.4.
Условие
При каких значениях a уравнение имеет ровно одно решение на промежутке x \in [0; 2\pi) : \cos 2x + 2 \sin x + 2a^2 + 2a - 1 = 0.
Решение
Преобразуем уравнение, сведя его к квадратному относительно \sin x : 1-2\sin^2 x + 2 \sin x + 2a^2 +2a - 1 = 0\Longleftrightarrow \sin^2 x + \sin x - a^2 - a = 0. Для того, чтобы исходное уравнение на промежутке [0; 2\pi) имело ровно один корень, нужно, чтобы один из корней уравнения относительно \sin x был равен 1 или - 1 (это обеспечит одно решение), а другой был по модулю больше 1 (это обеспечит отсутствие других решений). Рассмотрим два случая.
1. \left\{\begin{array}{l}
\left[\begin{array}{l}
- a - 1 = 1, \\
- a - 1 = - 1, \\
\end{array} \right.\\
|a| > 1, \vphantom{A^T}\\
\end{array} \right.
\Longleftrightarrow
\left\{\begin{array}{l}
\left[\begin{array}{l}
a = - 2, \\
a = 0, \\
\end{array} \right.\\
|a| > 1, \vphantom{A^T}\\
\end{array} \right.
\Longleftrightarrow
a = - 2.
2. \left\{\begin{array}{l}
\left[\begin{array}{l}
a = 1, \\
a = - 1, \\
\end{array} \right.\\
|a + 1| > 1, \vphantom{A^T}\\
\end{array} \right.
\Longleftrightarrow
a = 1.
Ответ a =- 2, \quad 1 .
Во многих задачах перед исследованием решения в зависимости от параметра необходимо сделать преобразования с использованием тригонометрических формул.
Пример 8.5.
Условие
Для каждого значения a найдите все решения уравнения принадлежащие промежутку 3\pi / 2 \leq x \leq 5\pi / 2 : \cos 2x + 2\cos ^2(x + a) - 4 + \cos a = 0.
Решение
Преобразуя второе слагаемое по формуле косинуса двойного аргумента и используя формулу суммы косинусов, мы получаем простое выражение для тригонометрической функции неизвестной величины \cos
2x : \begin{array}{l}
\cos 2x + 2\cos ^2(x + a) - 4 + \cos a =
0 \Longleftrightarrow \\
\qquad \cos 2x + 1+\cos (2x + 2a) - 4 + \cos a = 0
\Longleftrightarrow \\
\qquad \cos 2x + \cos (2x + 2a) + \cos a = 3
\Longleftrightarrow
\left\{\begin{array}{l}
\cos 2x = 1, \\
\cos (2x + 2a) = 1, \\
\cos a = 1.
\end{array} \right.
\end{array} Сумма трех косинусов может равняться 3, только если каждый из них равен 1. Решения этой системы существуют при \cos a=1, то есть при a=2\pi n . При этих значениях a первые два уравнения системы дают \cos 2x=\cos (2x+4\pi n)=1 , откуда x=\pi k, где k \in
\mathbb{Z} . Важно не забыть учесть ограничения на область изменения переменной в условии задачи. Учитывая заданный промежуток изменения x , получаем ответ.
Ответ если a = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} , x = 2\pi ; при других a решений нет.