Основные тригонометрические формулы и тождества: Часть 1

Видео

Конспект

Основные тригонометрические формулы и тождества

Определение и свойства тригонометрических функций

Вспомним сначала определение синуса и косинуса угла в прямоугольном треугольнике \triangle ABC (угол C - прямой):

Trig_49 Синусом угла A называется отношение катета BC к гипотенузе AB , косинусом угла A называется отношение катета AC к гипотенузе AB (рис. 1): \sin A = \frac{BC}{AB}, \quad \cos A = \frac{AC}{AB} . Однако в прямоугольном треугольнике углы не превышают 90^\circ . Для определения тригонометрических функций \sin x и \cos x на всем множестве \mathbb{R} значений аргумента x введем понятие тригонометрической окружности (часто используется термин <<тригонометрический круг>>), то есть окружности радиуса 1 с центром в начале координат.

trig_20 Возьмем точку P на окружности и рассмотрим угол x , образованный радиусом, проведенным из начала координат в точку P , и осью Ox (рис. 2). Угол считается положительным, если он соответствует повороту против часовой стрелки. Синусом угла x назовем ординату точки P , а косинусом угла x - абсциссу этой точки. Заметим, что при 0 < x < \frac{\pi}{2} определение тригонометрических функций совпадает с определением синуса и косинуса угла в прямоугольном треугольнике. Область значений функций \sin x и \cos x представляет собой отрезок [-1,1] .

Графики функций \sin x и \cos x приведены на рис. 3.

trig_17_2 Обе функции обладают свойством периодичности (период 2\pi ), а также четности и нечетности: функция \sin x является нечетной, а функция \cos x - четной. Из графиков функций видно, что форма кривых y=\sin x и y=\cos x одна и та же, кривые сдвинуты одна относительно другой на \frac{\pi}{2} .