Основные тригонометрические формулы и тождества: Часть 2

Видео

Конспект

Формулы приведения

Рассмотрим формулы, связывающие значения тригонометрических функций, аргументы которых различаются на величины, кратные \frac{\pi}{2} . Они называются формулами приведения. Правило их применения следующее: если к аргументу x тригонометрической функции прибавляется или вычитается угол \alpha= \frac{\pi}{2} или \alpha= \frac{3\pi}{2} , то имя функции меняется на противоположное ( \sin x на \cos x и наоборот); если к аргументу тригонометрической функции прибавляется или вычитается угол \alpha=\pi или \alpha=2\pi , то имя функции не изменяется. Знак полученной тригонометрической функции берется таким же, как знак исходной функции от аргумента x\pm\alpha , если считать, что x принадлежит промежутку от 0 до \frac{\pi}{2} .

Пример 1.1.

Условие

Преобразуйте с помощью формул приведения \sin\left(x+ \frac{\pi}{2}\right).

Решение

В соответствии с правилом считаем аргумент x изменяющимся от 0 до \frac{\pi}{2} . Тогда x+ \frac{\pi}{2} будет изменяться от \frac{\pi}{2} до \pi , в этой области \sin x больше нуля, следовательно, знак функции не изменится. Имя же функции изменится, отсюда, \sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right) = \cos x.

Ответ \cos x.

Задача 1.2.

Условие

Преобразуйте с помощью формул приведения \sin(x + \pi),~ \cos (x-2\pi), \quad \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right), \quad \sin\left(x + \frac{3\pi}{2}\right), \cos \left(x-\frac{15\pi}{2}\right), \quad \sin(x - 9\pi).

Тригонометрическая функция tg x определяется следующим образом: tg x = \frac{\sin x}{\cos x}. \tag{1.1} Поэтому областью ее определения будет не \mathbb{R} , а \mathbb{R}\backslash \left(\frac{\pi}{2} + \pi n \right) , n \in \mathbb{Z} , то есть все действительные числа x , кроме x=\left(\frac{\pi}{2} + \pi n\right) . Это условие вытекает из условия неравенства нулю знаменателя в формуле (1.1).

Аналогично функции tg x определяется функция ctg x : ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}. \tag{1.2} Ее областью ее определения будет \mathbb{R}\backslash \left( \pi n \right) , n \in \mathbb{Z} . Это следует из условия неравенства нулю знаменателя в формуле (1.2).