Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами Часть 2: Часть 1

Видео

Конспект

Часто в задачах встает вопрос о равносильности каких-либо соотношений. Напомним, что два уравнения считаются равносильными, если все решения первого уравнения являются решениями второго, а решения второго уравнения - решениями первого.

Пример 8.10.

Условие

Определите, при каких значениях a уравнения равносильны: \sin 2x(\sin 2x - 1) = 0, \quad (a + 3)\sin^2 2x - \sin 2x \cos 4x -(a + 4)\sin 2x =0.

Решение

Сначала имеет смысл решить первое уравнение, как более простое и не содержащее параметра. Оно равносильно совокупности

\left[ {\begin{array}{l}

\sin 2x = 0, \\

\sin 2x = 1. \\

\end{array}} \right. \tag{8.3} Преобразуем второе уравнение: \begin{array}{l}

(a + 3)\sin^2 2x - \sin 2x \cos 4x -

(a + 4)\sin 2x =0 \Longleftrightarrow \\

\Longleftrightarrow \sin 2x \left((a + 3)\sin 2x - \cos 4x -

a - 4 \vphantom{z^2} \right)=0 \Longleftrightarrow \\

\Longleftrightarrow \sin 2x \left( 2\sin^2 2x+(a+3)\sin 2x-a-5 \right) = 0 \Longleftrightarrow \\

\Longleftrightarrow \sin

2x(\sin 2x-1)\left(\sin 2x+\frac{a+5}{2}\right)=0.

\end{array} Видно, что второе уравнение сводится к совокупности простейших уравнений \left[ {\begin{array}{l}

\sin 2x = 0, \\

\sin 2x = 1, \\

\sin 2x = - \frac{a + 5}{2}. \\

\end{array}} \right. \tag{8.4} Если последнее уравнение в этой совокупности не будет давать новых корней по сравнению с первыми двумя уравнениями, то совокупности (8.3) и (8.4) будут равносильны. Тогда либо корни последнего уравнения в (8.4) совпадают с корнями одного из первых уравнений в совокупности (8.3), либо оно вообще не имеет решений. Отсюда \left[ {\begin{array}{l}

- \frac{a + 5}{2} = 0, \\

- \frac{a + 5}{2} = 1, \\

\left| { - \frac{a + 5}{2}} \right| > 1, \\

\end{array}} \right. \Longleftrightarrow~~

\left[ {\begin{array}{l}

a = -5,\\

a = -7,\\

a >-3, \\

a <-7. \\

\end{array}} \right. Объединяя решения, получаем ответ.

Ответ a \in ( - \infty; -7 ] \cup \{-5\} \cup (- 3; + \infty) .

Задача 8.11.

Условие

Найдите a , при которых уравнения равносильны: \sin x = 2\sin ^2x, \quad \sin 3x = (a + 1) \sin x - 2(a - 1) \sin ^2x .