Решение тригонометрических уравнений и сведение их к квадратным: Часть 1

Видео

Конспект

Решение тригонометрических уравнений и сведение их к квадратным

Решение простейших тригонометрических уравнений

Для решения тригонометрических уравнений и неравенств необходимо уметь решать простейшие уравнения \sin x = a , \cos x = a , tg

x = a , ctg x = a . Напомним, что решить уравнение - значит найти те значения x , которые обращают его в верное числовое равенство или доказать, что их нет. Для указанных уравнений, в силу периодичности входящих в них функций, таких значений, если они существуют, будет бесконечно много. Отметим, что первые два уравнения имеют решения только при условии |a| \leq 1 .

Найдем решения уравнения \sin x = a . Сначала рассмотрим функцию y(x) = \sin x . Каждому значению x соответствует единственное значение y , но одному y соответствует бесконечное число значений x . Однако, если рассматривать отрезок x \in [- \pi/2, \pi/2] , то есть один из промежутков монотонности функции y(x) = \sin x , то на данном промежутке можно определить обратную функцию x = \varphi

(y) , так как каждому y соответствует единственное x . Эта функция называется x(y) = \arcsin y . Ее область определения есть отрезок [-1,1] , а множество значений - отрезок [-\pi/2,\pi/2] . Подробнее данная функция будет рассмотрена позже. С помощью этой функции можно выписать все решения уравнения \sin x = a . Действительно, рассмотрим точки пересечения прямой y = a с тригонометрическим кругом (рис. 1.5).

trig_37 Точка A соответствует углу поворота x = \arcsin a . Из геометрических соображений видно, что точка B соответствует углу поворота x = \pi - \arcsin a . Все остальные решения, в силу периодичности функции y = \sin x , могут быть записаны в следующем виде: \left[ \begin{aligned}

&x = \arcsin a+ 2\pi k, ~~k \in \mathbb{Z}, \\

&x = \pi- \arcsin a+ 2\pi k, ~~k \in \mathbb{Z} .

\end{aligned} \right.

Для решения уравнения \cos x = a аналогично функции x = \arcsin y вводится обратная функция x = \arccos y для y(x) = \cos x , но для этой функции область монотонности - x \in [0,\pi] . Как видно из графика, одному значению a=\cos x соответствует два угла: \arccos a и -\arccos a . С учетом периодичности функции получаем общий вид решения: \cos x=a,~~ |a|\leq 1 \Longleftrightarrow x=\pm \arccos a +2\pi

k, ~~k \in \mathbb{Z}. Функции tg x и ctg x на периоде монотонно возрастают и убывают соответственно, поэтому для них выбраны области существования обратных функций (-\pi/2, \pi/2) для tg x и (0, \pi) для ctg x . Тогда tg x=a\Longleftrightarrow x=arctg a+\pi k, ~~k \in \mathbb{Z}, и ctg x=a\Longleftrightarrow x=arcctg a+\pi k, ~~k \in \mathbb{Z}. Отметим, что \arcsin(-a)=-\arcsin a ; \arccos(-a)=\pi-\arccos a ; arctg(-a)=-arctg a ; arcctg(-a)=-arcctg a .

Пример 2.1.

Условие

Решите уравнение \sin x = \frac{1}{7} .

Решение

Воспользуемся формулой для решения уравнения \sin x=a :

\left[ \begin{aligned}

&x = \arcsin\frac{1}{7}+ 2\pi k, ~~k \in \mathbb{Z}, \\

&x = \pi- \arcsin\frac{1}{7}+ 2\pi k, ~~k \in \mathbb{Z} .

\end{aligned} \right. Ответ x = \arcsin\frac{1}{7}+ 2\pi k, \quad \pi- \arcsin\frac{1}{7}+ 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} .

Пример 2.2.

Условие

Решите уравнение \sin x = \frac{1}{2} .

Решение

Воспользуемся формулой для решения уравнения \sin x=a :

\left[ \begin{aligned}

&x = \frac{\pi}{6}+ 2\pi k, ~~k \in \mathbb{Z}, \\

&x = \frac{5\pi}{6}+ 2\pi k, ~~k \in \mathbb{Z} .

\end{aligned} \right. Ответ x = \frac{\pi}{6}+ 2\pi k, \quad \frac{5\pi}{6}+ 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} .

Пример 2.3.

Условие

Решите уравнение \cos x = \frac{1}{7} .

Решение

Воспользуемся формулой для решения уравнения \cos x=a : \cos x=\frac{1}{7} \quad \Longleftrightarrow \quad x=\pm \arccos\frac{1}{7} +2\pi

k, ~~k \in \mathbb{Z}.

Ответ x=\pm \arccos\frac{1}{7} +2\pi

k, \quad k \in \mathbb{Z}.

Полезно также помнить решения следующих уравнений:

\sin x =1\Longleftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+2\pi n, n\in\mathbb{Z}; \sin x =-1\Longleftrightarrow x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n, n\in\mathbb{Z}; \sin x =0\Longleftrightarrow x=\pi n, n\in\mathbb{Z}. И аналогичных уравнений для косинуса:

\cos x =1\Longleftrightarrow x=2\pi n, n\in\mathbb{Z}; \cos x =-1\Longleftrightarrow x=\pi+2\pi n, n\in\mathbb{Z}; \cos x =0\Longleftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+2\pi n, n\in\mathbb{Z}.