Сведение к квадратным и учет области изменения функций: Часть 1

Видео

Конспект

Пример 2.17.

Условие

а) Решите уравнение \left(4\sin^2 x-1\right)\sqrt{x^2-64\pi^2}=0;

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [25;30].

Решение

a) Решение уравнения удовлетворят следующей системе уравнений: \left\{\begin{aligned}

&\left[\begin{aligned}

&\sin^2 x=\frac{1}{4}, \\

&x^2-64\pi^2=0,

\end{aligned} \right.\\

&x^2-64\pi^2\ge 0,

\end{aligned} \right.

\Longleftrightarrow

\left\{\begin{aligned}

&\left[\begin{aligned}

&1- \cos 2x=\frac{1}{2}, \\

&x^2=(8\pi)^2,

\end{aligned} \right.\\

&x^2-64\pi^2\ge 0.\\

\end{aligned} \right.\Longleftrightarrow \Longleftrightarrow\left\{\begin{aligned}

&\left[\begin{aligned}

&x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n,n\in\mathbb{Z} \\

&x=\pm 8\pi,

\end{aligned} \right.\\

&\left[\begin{aligned}

&x\ge 8\pi \\

&x\le -8\pi.

\end{aligned} \right.

\end{aligned} \right. Во-первых, есть решения 8\pi и -8\pi , которые обращают нуль подкоренное выражение. Далее, отберем те решения тригонометрического уравнения, которые удовлетворяют ограничениям x\ge 8\pi или x\le -8\pi с учетом того, что n - целые числа:

\frac{\pi}{6}+\pi n\ge 8\pi \Longleftrightarrow n\ge 8-\frac{1}{6}\Longrightarrow n=8,9,10... \frac{\pi}{6}+\pi n\le -8\pi \Longleftrightarrow n\le -8-\frac{1}{6}\Longrightarrow n=-9,-10,-11; -\frac{\pi}{6}+\pi n\ge 8\pi \Longleftrightarrow n\ge 8+\frac{1}{6}\Longrightarrow n=9,10,11... -\frac{\pi}{6}+\pi n\le -8\pi \Longleftrightarrow n\le -8+\frac{1}{6}\Longrightarrow n=-8,-9,-10...

б) Очевидно, что 8\pi \in [25;30] , а -8\pi - нет. Найдем, при каких n остальные решения принадлежат отрезку, то есть выполняются неравенства: 25\le\frac{\pi}{6}+\pi n\le 30 и 25\le-\frac{\pi}{6}+\pi n\le 30 . Учитывая, что \pi\simeq 3,14 , из неравенств получаем, что в первом случае n=8, n=9 , а во втором случае подходит только n=9 . Таким образом, это x=\frac{49\pi}{6}; \ x=\frac{53\pi}{6}; \ x=\frac{55\pi}{6} .

Ответ а) x = \pm 8\pi ; \frac{\pi}{6}+\pi n , где либо n=8,9,10... , либо n=-9,-10,-11... ; -\frac{\pi}{6}+\pi n , где либо n=-8,-9,-10... , либо n=9,10,11... ; б) 8\pi; \ \frac{49\pi}{6}; \ \frac{53\pi}{6}; \ \frac{55\pi}{6} .

Задача 2.18.

Условие

а) Решите уравнение \left(4\sin^2 x-3\right)\sqrt{36\pi^2-x^2}=0;

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-20;-15].

Решение

a) Решение уравнения удовлетворят следующей системе уравнений: \left\{\begin{aligned}

&\left[\begin{aligned}

&\sin^2 x=\frac{3}{4}, \\

&36\pi^2 - x^2=0,

\end{aligned} \right.\\

&36\pi^2 - x^2\ge 0,

\end{aligned} \right.

\Longleftrightarrow

\left\{\begin{aligned}

&\left[\begin{aligned}

&\sin x=\pm\frac{\sqrt 3}{2}, \\

& x^2=(6\pi)^2,

\end{aligned} \right.\\

&36\pi^2 - x^2\ge 0.\\

\end{aligned} \right.\Longleftrightarrow \Longleftrightarrow\left\{\begin{aligned}

&\left[\begin{aligned}

&x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n,n\in\mathbb{Z} \\

&x=\pm 6\pi,

\end{aligned} \right.\\

&\left\{\begin{aligned}

&x\ge -6\pi \\

&x\le 6\pi.

\end{aligned} \right.

\end{aligned} \right. Во-первых, есть решения 6\pi и -6\pi , которые обращают нуль подкоренное выражение. Далее, отберем те решения тригонометрического уравнения, которые удовлетворяют ограничениям x\ge -6\pi и x\le 6\pi с учетом того, что n - целые числа: \frac{\pi}{3}+\pi n\ge -6\pi \Longleftrightarrow n\ge -6-\frac{1}{3}\Longrightarrow n=-6, -5... \frac{\pi}{3}+\pi n\le 6\pi \Longleftrightarrow n\le 6-\frac{1}{3}\Longrightarrow n=5,4,... Объединяя условия, получаем, что n\in[-6;5] .

Для второй серии решений аналогично -\frac{\pi}{3}+\pi n\ge -6\pi \Longleftrightarrow n\ge -6+\frac{1}{3}\Longrightarrow n=-5,-4,... -\frac{\pi}{3}+\pi n\le 6\pi \Longleftrightarrow n\le 6+\frac{1}{6}\Longrightarrow n=6,5,... Объединяя условия, получаем, что n\in[-5;6] .

б) Очевидно, что 6\pi \in [25;30] , а -6\pi - нет. Найдем, какие еще решения принадлежат отрезку. Учитывая, что \pi\simeq 3,14 , из неравенств получаем -\frac{17\pi}{3}; \ -\frac{16\pi}{3} .

Ответ а) x=\pm 6\pi ; \frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in[-6;5] ; -\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in[-5;6] ; б) -\frac{17\pi}{3}; \ -\frac{16\pi}{3} .