Сведение к квадратным и учет области изменения функций: Часть 3

Видео

Конспект

Решение уравнений с учетом области изменения функций

В предыдущем примере решение опиралось на ограничения области изменения тригонометрической функции: |\sin x|\leq 1 . В следующих задачах эти ограничения также играют решающую роль.

Пример 2.21.

Условие

Решите уравнение \cos x \cdot \cos 6x = -1 .

Решение

Учитывая, что |\cos x|\leq 1 и |\cos 6x|\leq 1 , для того, чтобы выполнялось требуемое равенство, должна быть верна следующая совокупность систем уравнений: \left[ \begin{aligned}

&\left \{ \begin{aligned}

&\cos x=-1,\\

&\cos 6x=1.

\end{aligned} \right.\\

&\left \{

\begin {aligned}

&\cos x=1,\\

&\cos 6x=-1,

\end{aligned} \right.\\

\end{aligned} \right. Рассмотрим сначала первую систему. Начнем с первого уравнения, поскольку оно имеет лишь одно решение на промежутке [0; 2\pi] , который является наименьшим общим периодом \cos x и \cos 6x . Второе уравнение имеет больше решений на этом промежутке. Решением первого уравнения будет x = \pi + 2 \pi n , n \in \mathbb{Z} . Подставим его во второе уравнение. Поскольку все решения первого уравнения удовлетворяют второму, а других решений системы не может быть, то они и являются решением первой системы.

Решение второй системы также начнем с первого уравнения. Его решение x = 2\pi n , n \in \mathbb{Z} не удовлетворяет второму уравнению, поэтому вторая система решений не имеет.

Ответ x = \pi + 2 \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} .

Задача 2.22.

Условие

Решите уравнение \sin x \cdot \sin 5x = 1.

Решение

Учитывая, что |\sin x|\leq 1 и |\sin 5x|\leq 1 , для того, чтобы выполнялось требуемое равенство, должна быть верна следующая совокупность систем уравнений: \left[ \begin{aligned}

&\left \{ \begin{aligned}

&\sin x=1,\\

&\sin 5x=1.

\end{aligned} \right.\\

&\left \{

\begin {aligned}

&\sin x=-1,\\

&\sin 5x=-1.

\end{aligned} \right.

\end{aligned} \right. Рассмотрим сначала первую систему. Начнем с первого уравнения, поскольку оно имеет лишь одно решение на промежутке [0; 2\pi] , который является наименьшим общим периодом \sin x и \sin 5x . Второе уравнение имеет больше решений на этом промежутке. Решением первого уравнения будет x = \frac{\pi}{2} + 2 \pi n , n \in \mathbb{Z} . Подставим его во второе уравнение. Поскольку все решения первого уравнения удовлетворяют второму, а других решений системы не может быть, то они и являются решением первой системы.

Решение второй системы также начнем с первого уравнения. Его решение x = -\frac{\pi}{2} + 2 \pi n , n \in \mathbb{Z} . Подставим его во второе уравнение. Поскольку все решения первого уравнения удовлетворяют второму, а других решений системы не может быть, то они и являются решением второй системы.

Ответ x = \pm \frac{\pi}{2} + 2 \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} .

Пример 2.23.

Условие

Решите уравнение \sin^{100} x+\cos^{101} x= 1.

Решение

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \sin^{100} x + \cos^{101} x = \sin^2 x + \cos^2 x \Longleftrightarrow \Longleftrightarrow \sin^2 x(\sin^{98} x-1) + \cos^2 x(\cos^{99} x-1) =0. Оба слагаемых неположительны, следовательно, для выполнения равенства они должны быть одновременно равны нулю. Таким образом, получаем эквивалентную исходному уравнению систему уравнений: \left\{ \begin{aligned}

& \sin^2 x \left(\sin^{98} x - 1 \right) = 0,\\

& \cos^2 x \left(\cos^{99} x - 1 \right) = 0,

\end{aligned} \right. \Longleftrightarrow

\left \{\begin{aligned}

& \left[

\begin {aligned}

& \sin x=\pm 1,\\

&\sin x=0,

\end{aligned} \right.\\

& \left [ \begin{aligned}

& \cos x= 1,\\

& \cos x=0.

\end{aligned} \right.

\end{aligned} \right. В силу основного тригонометрического тождества если одна из тригонометрических функций по модулю равна единице, то другая должна обращаться в нуль, поэтому последняя система равносильна следующей совокупности уравнений \left[ \begin{aligned}

&\sin x =\pm 1, \\

&\cos = 1,

\end{aligned} \right.

\Longleftrightarrow

\left[

\begin {aligned}

&x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\\

&x=2\pi m,~~m,n \in \mathbb{Z}.

\end{aligned} \right. Ответ x= \frac{\pi}{2}+2\pi n , 2\pi m, \quad m, \ n \in \mathbb{Z}.

Задача 2.24.

Условие

Решите уравнение \sin^{77} x+\cos^{88} x= 1.

Решение \sin^{77} x + \cos^{88} x = \sin^2 x + \cos^2 x \Longleftrightarrow \Longleftrightarrow \sin^2 x(\sin^{75} x-1) + \cos^2 x(\cos^{86} x-1) =0. Оба слагаемых неположительны, следовательно, для выполнения равенства они должны быть одновременно равны нулю. Таким образом, получаем эквивалентную исходному уравнению систему уравнений: \left\{ \begin{aligned}

& \sin^2 x \left(\sin^{75} x - 1 \right) = 0,\\

& \cos^2 x \left(\cos^{86} x - 1 \right) = 0,

\end{aligned} \right. \Longleftrightarrow

\left \{\begin{aligned}

& \left[

\begin {aligned}

& \sin x= 1,\\

& \sin x=0,

\end{aligned} \right.\\

& \left [ \begin{aligned}

& \cos x=\pm 1,\\

& \cos x=0.

\end{aligned} \right.

\end{aligned} \right. В силу основного тригонометрического тождества если одна из тригонометрических функций по модулю равна единице, то другая должна обращаться в нуль, поэтому последняя система равносильна следующей совокупности уравнений \left[ \begin{aligned}

&\sin x = 1, \\

&\cos = \pm 1,

\end{aligned} \right.

\Longleftrightarrow

\left[

\begin {aligned}

&x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\\

&x=\pi m,~~m,n \in \mathbb{Z}.

\end{aligned} \right.

Ответ x = \frac{\pi}{2}+\pi n, \quad \pi m,~~m,n \in \mathbb{Z}.