Сведение к квадратным и учет области изменения функций: Часть 4
Математика, 10 класс
Пример 2.25. Условие Решите уравнение \cos(\pi x)+x^2-6x+10 = 0. Решение Если в задаче одновременно (например,в виде суммы или разности) присутствуют и тригонометрическая функция, и рациональная, то с...
Видео
Конспект
Пример 2.25.
Условие
Решите уравнение \cos(\pi x)+x^2-6x+10 = 0.
Решение
Если в задаче одновременно (например,в виде суммы или разности) присутствуют и тригонометрическая функция, и рациональная, то скорее всего речь идет о поиске решений с помощью границ областей определения. Перенесем квадратный трехчлен направо: \cos(\pi x)=-(x^2-6x+10). Дискриминант квадратного трехчлена меньше нуля, следовательно, с учетом отрицательного знака при старшей степени неизвестной, значения правой части всегда меньше нуля, а максимальное значение -1 достигается в вершине параболы x=\frac{-6}{-2}=3 . В этой точке \cos(\pi x) тоже равен -1 , следовательно, x=3 есть решение уравнения. Других решений нет, так как \cos x\geq -1 , а значения квадратного трехчлена в точках, отличных от x=3 , всегда меньше -1 .
Ответ x = 3 .
Задача 2.26.
Условие
Решите уравнение \sin(2 x)-4x^2+2\pi x-1-\frac{\pi^2}{4} = 0. Решение
В уравнении \sin(2 x)=4x^2-2\pi x+1+\frac{\pi^2}{4} левая часть по модулю не превышает единицу и равно 1 при x=\frac{\pi}{4} . А минимальное значение параболы в правой части равно единице в вершине параболы при x=\frac{\pi}{4} , а при других значениях аргумента правая часть больше 1. Следовательно, единственное решение задачи x= \frac{\pi}{4} .
Ответ x= \frac{\pi}{4} .
Задачи повышенной сложности
Решите уравнение tg^2 x - 3tg x + \frac{2\sin x}{\cos^3 x} =
\frac{3}{\cos^2 x} - \frac{1}{\cos^4 x}.
Ответ: - \arctg 2 + \pi n,~n \in \mathbb{Z} ; \pi/4 + \pi n,~n \in \mathbb{Z} .
Решите уравнение \sin^2 2x + \sin^2 3x = 1.
В этой задаче, для того, чтобы можно было применить формулу синуса половинного угла, сначала домножим обе части уравнения на 2, а потом учтем, что 2=1+1: \begin{aligned}
&2\left(\sin^2 2x + \sin^2 3x \right) = 1\cdot 2 ~\Longleftrightarrow~ \\
\left(1 - 2 \sin^2 3x \right) +
&\left(1 - 2 \sin^2 2x \right) = 0 ~\Longleftrightarrow~ \vphantom{\int}\\
\Longleftrightarrow~ \cos 6x + \cos 4x = 0 ~\Longleftrightarrow~
\cos 5x \cos x = 0.
\end{aligned} Ответ: \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5},~~ n \in
\mathbb{Z} .