Сведение к квадратным и учет области изменения функций: Часть 2

Видео

Конспект

Пример 2.19.

Условие

Решите уравнение \sin 4x - \left(1 + \sqrt{2} \right) \left(\sin 2x + \cos 2x - 1 \right) = 0 .

Решение

Прибавим к левой и правой частям уравнения единицу и преобразуем выражение к виду 1+\sin 4x=\left(1 + \sqrt{2} \right) \left(\sin 2x + \cos 2x

\right)-\sqrt{2}, а после этого воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и формулой синуса двойного угла: \sin^2 2x+\cos^2 2x+2\sin 2x \cos 2x = \hskip-1mm \left(1 + \sqrt{2}

\right) \hskip-1mm \left(\sin 2x + \cos 2x \right)-\sqrt{2} \Leftrightarrow \Leftrightarrow

\left(\sin 2x+\cos 2x\right)^2-\left( 1+\sqrt {2} \right)

\left( \sin 2x+\cos 2x\right) +\sqrt{2}=0. Мы получили квадратное уравнение относительно аргумента t= \sin

2x+\cos 2x . t^2- \left(1+ \sqrt{2} \right)t+\sqrt {2}=0; t=\frac{1+\sqrt{2}\pm \sqrt {1+2+2\sqrt{2}-4\sqrt{2}}}{2}=\frac{1+\sqrt{2}\pm \left(1-\sqrt{2} \right)}{2}. Возвращаясь к исходным переменным, получаем совокупность уравнений \left[\begin{aligned}

&\sin 2x+\cos 2x=\sqrt{2},\\

&\sin 2x+\cos 2x=1.\end{aligned} \right. Как решить эти уравнения? Ниже мы рассмотрим метод вспомогательного аргумента для решения таких уравнений в общем виде. А сейчас достаточно заметить, что если каждое из этих уравнений умножить и разделить на \sqrt{2} , то получаем \left[\begin{aligned}

&\sqrt{2} \left( \sin 2x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}+\cos 2x\cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \right)=\sqrt{2},\\

&\sqrt{2} \left(\sin 2x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}+\cos 2x \cdot

\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=1.\end{aligned} \right.

Учитывая, что \sin

\frac{\pi}{4}=\cos \frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}} , имеем \left[\begin{aligned}

&\sqrt{2} \sin \left(2x+\frac{\pi}{4} \right)=\sqrt{2}, \\

&\sqrt{2} \sin \left(2x+\frac{\pi}{4}\right)=1.\end{aligned}

\right. Решая эти уравнения, получаем ответ.

Ответ \pi/8 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} ; \pi/4 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} ; \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} .

Таким образом, можно заметить, что если в уравнении, содержатся только конструкции вида \sin x \cos x и \sin x \pm \cos x , то уравнение сводится к алгебраическому заменой t = \sin x \pm \cos

x , при этом \sin x \cos x = \pm \frac{1}{2}\left(t^2 - 1

\right) .

Задача 2.20.

Условие

Решите уравнение \sin x + \cos x = 1 + \sin 2x .

Решение

Снова воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: 1 + \sin 2x=(\sin x+\cos x)^2 и введем новую переменную: t=\sin x + \cos x . Тогда уравнение приобретает вид t=t^2\Longleftrightarrow t(1-t)=0. Тогда t=0 \Rightarrow \sin x+\cos x=0 \Rightarrow tg x=-1 . Тогда - \pi/4 + \pi n,~n \in \mathbb{Z} . t=1\Longleftrightarrow\sin x+\cos x=1\Longleftrightarrow \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt 2}{2}. Тогда 2 \pi n,~n \in \mathbb{Z} ; \pi/2 + 2 \pi n,~n \in \mathbb{Z} ;

Ответ x = 2 \pi n ; \pi/2 + 2 \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} ;