Метод вспомогательного аргумента и однородные уравнения: Часть 1

Видео

Конспект

Метод вспомогательного аргумента и однородные уравнения

Метод вспомогательного аргумента

Метод вспомогательного аргумента служит для преобразования выражений вида T(x)=a\sin x+b\cos x \tag{3.1} (предполагаем, что a и b не равны нулю, так как в противном случае T(x)=a \sin x или T(x)=b \cos

x , что в преобразованиях уже не нуждается). Выражения (3.1) часто встречаются при решении тригонометрических уравнений и неравенств, а также при вычислении интегралов в математическом анализе.

Умножим и разделим выражение (3.1) на \sqrt{a^2+b^2} . Тогда \begin{aligned}

T(x)=a\sin x+b\cos x = \\

\qquad = \sqrt{a^2+b^2}\left( \sin x \cdot

\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}+\cos x \cdot

\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \right).

\end{aligned} Пусть сначала a>0 и b>0 . Тогда \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} и \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} можно рассматривать как синус и косинус некоторого угла в прямоугольном треугольнике. Действительно, если построить треугольник с катетами a и b , то его гипотенуза будет c = \sqrt{a^2+b^2} и тригонометрические функции острых углов будут: \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}=\cos\alpha;~~

\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}=\sin\alpha и \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}=\sin\beta;~~

\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}=\cos\beta. Выражение T(x) можно представить как T(x)=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\alpha), или T(x)=\sqrt{a^2+b^2}\cos(x-\beta). Таким образом, решение уравнения a \sin x+b\cos x=c сводится к решению уравнений \sin(x+\alpha)=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} или \cos(x-\beta)=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}. Выбор одного из вариантов определяется условиями задачи. Углы \alpha и \beta можно найти, например, как \alpha = \arccos \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}; ~ \beta=\arccos

\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}. Если a или b меньше нуля, то выражение (3.1) преобразуется к синусу разности или косинусу суммы. Если же оба коэффициента меньше нуля, то что помешает нам вынести минус за скобки и свести задачу к предыдущей?

Пример 3.1.

Условие

Решите уравнение 5\sin x+12 \cos x=13.

Решение

В соответствии со сказанным выше, умножим и разделим левую и правую части уравнения на \sqrt{ 5^2+12^2}=13 и получим 13\left(\frac{5}{13} \sin x+\frac{12}{13} \cos x \right)=13\Longleftrightarrow

\sin(x+\alpha)=1, где вспомогательный угол \alpha есть \arccos\frac{5}{13} .

Решая простейшее тригонометрическое уравнение, имеем x+\alpha=\frac{\pi}{2}+2\pi n\Longleftrightarrow x=-\arccos\frac{5}{13}+\frac{\pi}{2}+2\pi

n,~~ n \in \mathbb{Z}.

Ответ x= -\arccos\frac{5}{13}+\frac{\pi}{2}+2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} .

Задача 3.2.

Условие

Решите уравнение \cos x-\sqrt{3} \sin x=\sqrt{2}.

Решение

Умножим и разделим левую часть уравнения на \sqrt{1+3}=2 : 2\left(\frac{1}{2}\cos x-\frac{ \sqrt 3}{2}\sin x\right)=\sqrt 2\Longleftrightarrow\cos\left( x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt 2}{2}. Решая это уравнение, получаем ответ: x= -\frac{\pi}{3}\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n, n \in

\mathbb{Z}.

Ответ x= -\frac{\pi}{3}\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n, \quad n \in

\mathbb{Z}.

Задача 3.3.

Условие

Решите уравнение \sqrt{15}\cos x\operatorname{ctg} x+\sqrt{5}\cos x+\sqrt{5}\operatorname{ctg} x=0.

Решение

Сразу отметим, что \sin x\ne 0 . Далее разделим уравнение на \sqrt 5 и вынесем общий множитель левой части \cos x за скобки: \cos x\left(\sqrt 3 \cdot \frac{\cos x}{\sin x}+1+\frac{1}{\sin x}\right)=0\Longleftrightarrow \Longleftrightarrow\cos x\left(\sqrt 3 \cdot \cos x+\sin x+1\right)=0. Отсюда либо \cos x=0 , либо \sqrt 3 \cdot \cos x+\sin x+1=0 . В первом случае x=\frac{\pi}{2}+\pi n, n \in \mathbb{Z} . Во втором случае уравнение решается введением вспомогательного аргумента: \sqrt 3 \cdot \cos x+\sin x+1=0\Longleftrightarrow \cos\left( x-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}. Тогда x=\frac{\pi}{6}\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n, n \in \mathbb{Z}\Longleftrightarrow x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n \quad и \quad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,n \in \mathbb{Z}, причем последнее решение входит в решение уравнения \cos x=0 .

Ответ x= \frac{\pi}{2}+\pi n ; \frac{5\pi}{6}+2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} .