Метод вспомогательного аргумента и однородные уравнения: Часть 2

Видео

Конспект

Однородные тригонометрические уравнения

Однородными тригонометрическими уравнениями первой и второй степени называются соответственно уравнения вида A\sin x+B\cos x=0 \tag{3.2} A\sin^2 x+B\sin x\cos x+C\cos^2 x=0, \tag{3.3} где A , B , C - числа. Аналогично можно записать однородные уравнения более высоких степеней, руководствуясь условием, что суммарная степень синуса и косинуса в каждом слагаемом должна быть постоянна.

Рассмотрим сначала первое уравнение. Будем считать, что числа A и B отличны от нуля, так как в противном случае мы имели бы простейшие уравнения. Разделим обе части (3.2) на \cos x . Это преобразование равносильное, так как \cos x \neq 0 . Если \cos x=0 , то из уравнения (3.2) следует, что и \sin x=0 , а это невозможно, так как \sin^2 x+\cos^2 x=1 . Таким образом, (3.2) преобразуется к виду A \operatorname{tg} x=-B\Longleftrightarrow x=\operatorname{arctg} \frac{-B}{A} +\pi n, ~~ n \in

\mathbb{Z}. Теперь рассмотрим уравнение (3.3). Если A и C одновременно равны нулю, то снова получаем простейшее тригонометрическое уравнение

\frac{B}{2} \sin 2x=0 , которое легко решается. Теперь предположим, для определенности, что C\neq

0 . При этом опять, как и выше, \cos x \ne 0 . (Докажите сами.) Разделим обе части уравнения (3.3) на \cos^2 x и получим квадратное уравнение относительно \operatorname{tg} x : A\operatorname{tg}^2 x+B\operatorname{tg} x+C=0, которое решается стандартным образом.

К уравнению вида (3.3) сводятся уравнения A\sin^2 x+B\sin x\cos x+C\cos^2 x+D\sin 2x+E\cos 2x+F=0 с помощью формул \sin 2x=2\sin x\cos x , \cos 2x=\cos^2

x-\sin^2 x , 1=\cos^2 x+\sin^2 x .

Пример 3.4.

Условие

Решите уравнение 2\sin^2 x+12\cos^2 x-5\sin 2x=0.

Решение

Если воспользоваться формулой синуса двойного угла, то это уравнение сведется к однородному. Преобразуем его, как показано выше. \begin{array}{l}

2\sin^2 x+12\cos^2 x-5\sin 2x=0 \Longleftrightarrow \\

\Longleftrightarrow \sin^2 x+6\cos^2 x-5\sin x \cos x=0 \Longleftrightarrow \\

\Longleftrightarrow \operatorname{tg}^2 x-5\operatorname{tg} x+6=0\Longleftrightarrow (\operatorname{tg} x-2)(\operatorname{tg} x-3)=0.

\end{array} Отсюда легко получить ответ.

Ответ x= \operatorname{arctg} 2+\pi n , n \in \mathbb{Z} ; \operatorname{arctg} 3+\pi n , n \in \mathbb{Z}.

Задача 3.5.

Условие

Решите уравнение 3\sin^2 x+\frac{3-\sqrt{3}}{2}\sin 2x-\sqrt{3}\cos^2 x=0. Решение

Воспользовавшись формулой синуса двойного угла, получим однородное уравнение второго порядка: 3\sin^2 x+(3-\sqrt{3})\sin x\cos x-\sqrt{3}\cos^2 x=0\Longleftrightarrow \Longleftrightarrow3\operatorname{tg}^2 x+(3-\sqrt{3})\operatorname{tg} x-\sqrt 3=0. Важно заметить, что дискриминант данного уравнения - полный квадрат: D=6\sqrt 3+3+4\cdot \sqrt 3\cdot 3=(3+\sqrt{3})^2 . Решения квадратного уравнения имеют вид: \operatorname{tg} x= \frac{\sqrt 3-3\pm (3+\sqrt{3})}{2 \cdot 3}. Отсюда нетрудно получить ответ. x=\frac{\pi}{6}+\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} ; x= -\frac{\pi}{4}+\pi n, \quad

n \in \mathbb{Z}.

Ответ x=\frac{\pi}{6}+\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} ; x= -\frac{\pi}{4}+\pi n, \quad

n \in \mathbb{Z}.

Рассмотрим метод сведения к однородному уравнению в применении к решению задач вида a\sin x+b\cos x=c , которые мы ранее решали методом вспомогательного аргумента. Воспользуемся формулами \sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} , \cos

x=\cos^2 \frac{x}{2}-\sin^2 \frac{x}{2} , 1=\cos^2

\frac{x}{2}+\sin^2 \frac{x}{2} .

Тогда получаем \begin{array}{l}

a\sin x+b\cos x=c \Longleftrightarrow \\

\Longleftrightarrow 2a\sin \frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}+b\cos^2 \frac{x}{2}-b\sin^2

\frac{x}{2}=c\cos^2 \frac{x}{2}+c\sin^2

\frac{x}{2}\Longleftrightarrow \\

\Longleftrightarrow (b-c)\cos^2 \frac{x}{2}+2a\sin

\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}-(b+c)\sin^2 \frac{x}{2}=0.

\end{array} Это уравнение является однородным относительно \sin

\frac{x}{2} и \cos \frac{x}{2} .

Пример 3.6.

Условие

Решите уравнение методом сведения к однородному уравнению 5\sin x+12 \cos x=13.

Решение

Воспользуемся приведенными выше формулами: 5\cdot 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}+12 \left(\cdot \cos^2 \frac{x}{2}-\sin^2 \frac{x}{2}\right)=13\left(\cos^2

\frac{x}{2}+\sin^2 \frac{x}{2}\right). Делением на \cos^2\frac{x}{2} уравнение сводится к квадратному относительно \operatorname{tg} \frac{x}{2} : 25 \operatorname{tg}^2\frac{x}{2}-10 \operatorname{tg}\frac{x}{2}+1=0. Решаем его и получаем x= 2 \operatorname{arctg}\frac{1}{5} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.

Ответ x= 2 \operatorname{arctg}\frac{1}{5} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.