Метод вспомогательного аргумента и однородные уравнения: Часть 3

Видео

Конспект

Задача 3.7.

Условие

Решите уравнения методом сведения к однородному уравнению \cos x-\sqrt{3} \sin x=\sqrt{2}.

Решение

Воспользуемся приведенными выше формулами: \cos^2 \frac{x}{2}-\sin^2 \frac{x}{2}-\sqrt{3}\cdot 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=\sqrt{2}\left(\cos^2\frac{x}{2}+\sin^2 \frac{x}{2}\right)\Longleftrightarrow \Longleftrightarrow (\sqrt{2}+1)\operatorname{tg}^2\frac{x}{2}+2 \sqrt{3} \operatorname{tg}\frac{x}{2}+\sqrt 2-1=0.

Ответ x = 2\operatorname{arctg} \frac{-1 \pm\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} .

Заметим, что полученные решения по форме отличаются от решений, полученных методом вспомогательного аргумента, хотя это те же самые решения. Вообще говоря, вид решения тригонометрического уравнения или неравенства существенно зависит от примененного метода. Часто бывает довольно сложно преобразовать одно решение к другому, поэтому, чтобы проверить ответ, можно просто воспользоваться калькулятором, посчитав значения искомой переменной разными способами и сравнив их.

Задача 3.8.

Условие

Решите уравнение \sqrt{3}\sin^2 (\pi+x) - \left( 1 + \sqrt{3} \right) \cos x\cos \left(\frac{3\pi}{2}+x \right)+\cos^2 x=0.

Пример 3.9.

Условие

Решите уравнение \sin^2 2x\cos \left(\frac{3\pi}{2}-2x\right )+

3\sin 2x\sin^2 \left(\frac{3\pi}{2}+2x\right )+2\cos^3 2x=0.

Решение

Это уравнение сводится к однородному, но не второго, а третьего порядка. \sin^2 2x\cos \left(\frac{3\pi}{2}-2x\right )+ 3\sin 2x\sin^2

\left(\frac{3\pi}{2}+2x\right )+2\cos^3 2x=0 \Longleftrightarrow -\sin^2 2x \sin 2x+3\sin 2x\cos^2 2x+2\cos^3 2x=0

\Longleftrightarrow -\sin^3 2x+3\sin 2x\cos^2 2x+2\cos^3 2x=0. Разделим обе части на -\cos^3 2x\neq 0 и получим \operatorname{tg}^3 2x-3\operatorname{tg} 2x-2=0 \Longleftrightarrow \left( \operatorname{tg}^3 2x+1 \right)-3(\operatorname{tg} 2x+1)=0 \Longleftrightarrow (\operatorname{tg} 2x+1) \left( \operatorname{tg}^2 2x-\operatorname{tg} 2x-2 \right)=0. Решая данное уравнение, получаем совокупность ответов: \left[ \begin{array} {l} \operatorname{tg} 2x=-1,\\

\operatorname{tg} 2x=2.

\end{array}

\right.

Ответ x = -\frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{2} n ; \frac{1}{2}\operatorname{arctg}{2}+\frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}.

Задача 3.10.

Условие

Решите уравнение 3\sqrt{3}\operatorname{tg} x \sin x-\operatorname{ctg} x\cos x+9\sin x -3\sqrt{3}\cos x=0.

Решение

Представим \operatorname{tg} x и \operatorname{ctg} x через \sin x\ne 0 и \cos x\ne 0 : 3\sqrt{3}\frac{\sin x}{\cos x} \sin

x-\frac{\cos x}{\sin x}\cos x+9\sin x -3\sqrt{3}\cos x=0\Longleftrightarrow 3\sqrt 3 \sin^3 x-\cos^3 x+9\sin^2x\cos x-3\sqrt 3\sin x\cos^2 x=0. Делим обе части уравнения на \cos^3 x\ne 0 и получаем 3\sqrt 3\cdot t^3 +9t^2-3\sqrt 3-1=0, где t=\operatorname{tg} x . Методом подбора, исходя из вида коэффициентов уравнения, найдем t=\frac{1}{\sqrt 3} .

Разделив уравнение уголком на t-\frac{1}{\sqrt 3} , получим квадратное уравнение 3\sqrt 3 t^2+12 t+\sqrt 3=0 , решая которое получаем t=\frac{-2\sqrt 3 \pm 3}{3} . Возвращаясь к исходной переменной x , приходим к ответу: \frac{\pi}{6}+\pi n, n \in \mathbb{Z} ; \operatorname{arctg}

\frac{-2\sqrt{3}-3}{3} +\pi n, n \in \mathbb{Z} ; \operatorname{arctg}

\frac{-2\sqrt{3}+3}{3} +\pi n , n \in \mathbb{Z}.

Ответ x= \frac{\pi}{6}+\pi n ; \operatorname{arctg} \frac{-2\sqrt{3}-3}{3} +\pi n ; \operatorname{arctg} \frac{-2\sqrt{3}+3}{3} +\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.