Преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и обратно; группировка: Часть 1

Видео

Конспект

Преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и обратно; группировка

В этом разделе рассматриваются задачи, в решении которых основную роль играет группировка тригонометрических функций и дальнейшее преобразование полученных выражений. Признаком, по которому они объединяются, может служить, например, близость аргументов или исчезновение неизвестной величины при суммировании аргументов в формулах.

Пример 4.1.

Условие

Решите уравнение \cos (0,3 x) - \cos (1,2 x) + \cos (0,9 x)= 1.

Решение

Вводим новую переменную z=0,3x , так как аргументы тригонометрических функций в задаче кратны 0,3x и такая замена сделает их целыми. Вообще говоря, всегда стоит проводить замену переменной, если это упростит работу. Чем меньше возможностей для ошибки - тем лучше! Итак, надо решить уравнение \cos z - \cos 4z + \cos 3z= 1.

Производя группировку первого и третьего слагаемого и применяя формулу суммы косинусов, имеем \cos z+\cos 3z=1+\cos 4z\Longleftrightarrow 2\cos 2z\cos

z=2\cos^2 2z \Longleftrightarrow

\cos 2z(\cos z-\cos 2z)=0\Longleftrightarrow \cos 2z(2\cos ^2

z-\cos z-1)=0. В последнем переходе использовалась формула двойного угла. (Можно было также применить формулу разности косинусов.) Разлагая полученный квадратный трехчлен относительно \cos z на множители, получаем простейшие уравнения для \cos 2z и \cos z : \left [ {\begin {array} {l} \cos 2z=0,\\

\cos z=1,\\

\cos z=-\frac{1}{2}.

\end {array} }\right. Решая уравнения и объединяя совпадающие значения переменных, получаем ответ.

Ответ x = \frac{5\pi}{6} + \frac{5\pi n}{3} ; \frac{20\pi n}{9}, \quad n \in \mathbb{Z} .

Задача 4.2.

Условие

Решите уравнение \sin 3x + \sin x + 2 \cos x = \sin 2x + 2 \cos^2 x.

Решение

Воспользуемся формулой для суммы синусов: \sin 3x+\sin x=2\sin 2x\cos x и синуса двойного угла: 2\sin 2x\cos x+ 2 \cos x =2\sin x\cos x+ 2 \cos^2 x\Longleftrightarrow \Longleftrightarrow 2\cos x(\sin 2x+1)=2\cos x(\sin x+\cos x)\Longleftrightarrow \Longleftrightarrow2\cos x\left((\sin x+\cos x)^2-(\sin x+\cos x)\right). Здесь либо \cos x=0 и тогда x=\frac{\pi}{2}+\pi n,~~n\in \mathbb{Z} , либо \left [ {\begin {array} {l}

\sin x+\cos x=0,\\

\sin x+\cos x=1.

\end {array} }\right. Такие уравнения уже не раз встречались, решаем первое переходом к \tg x , а второе введением вспомогательного аргумента и получаем ответ: \frac{\pi}{2} + \pi n , n \in \mathbb{Z} ; - \frac{\pi }{4} + \pi n , n \in \mathbb{Z} ; 2\pi n , n \in \mathbb{Z} .

Ответ x = \frac{\pi}{2} + \pi n ; - \frac{\pi }{4} + \pi n ; 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} .

Пример 4.3.

Условие

Решите уравнение \cos 4x + 2\sin 3x - \cos 2x + \sin x -1=0.

Решение

Это уравнение вызвало затруднения на экзамене у многих абитуриентов. В основном они возникли из-за неудачных группировок, а также вследствие безуспешных попыток применить формулу косинуса двойного угла. При решении задачи удобно воспользоваться тем, что разность косинусов выражается через синусы полусуммы и полуразности, а полусумма 4x и 2x дает как раз 3x . Убедимся, что в этом случае задача легко решается. \begin{array}{l}

\cos 4x + 2\sin 3x - \cos 2x + \sin x -1=0

\Longleftrightarrow \\

-2\sin 3x \sin x+2\sin 3x+ \sin x - 1 = 0 \Longleftrightarrow \\

2\sin 3x(1-\sin x)+(\sin x-1)=0 \Longleftrightarrow

(1-\sin x)(2\sin 3x-1)=0,

\end{array} откуда получаем ответ.

Ответ x=\frac{\pi}{2}+2\pi n ; (-1)^n \frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}.

Задача 4.4.

Условие

Решите уравнение \sin 3x\cdot \sin 2x+\sin 3x\cdot \sin 4x-\cos x=0.

Решение

Вынесем общий множитель \sin 3x за скобки: \sin 3x (\sin 2x+\sin 4x)-\cos x=0\Longleftrightarrow \Longleftrightarrow\sin 3x\cdot 2\cdot\sin 3x\cdot \cos x-\cos x =0\Longleftrightarrow \Longleftrightarrow \cos x\left(2\cdot\sin^2 3x-1\right)=0\Longleftrightarrow \cos x \cos 6x=0.

Ответ x = \frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{6} ; \frac{\pi}{2}+\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.