Преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и обратно; группировка: Часть 2

Видео

Конспект

Пример 4.5.

Условие

Решите уравнение \sin x\cdot \cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 8x=\frac{1}{4} \sin 12x.

Решение

Преобразуем левую часть уравнения по формуле синуса двойного угла: \sin x\cdot \cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 8x= \frac{1}{2}\sin 2x\cdot \cos 2x \cdot \cos

8x

=\frac{1}{4}\sin 4x\cdot \cos 8x, а правую часть представим в следующем виде: \frac{1}{4} \sin 12x=\frac{1}{4}\sin(4x+8x). Тогда исходное уравнение превращается в \sin 4x\cdot \cos

8x=\sin(4x+8x)\Longleftrightarrow \cos 4x\cdot \sin 8x=0

\Longleftrightarrow

\left[ \begin{array}{l}

\cos 4x=0,\\

\sin 8x=0.

\end {array}

\right. Выписываем решения совокупности уравнений и объединяем их одной формулой в ответ.

Ответ x = \frac{\pi n}{8} , n \in \mathbb{Z}.

Задача 4.6.

Условие

Решите уравнение \sqrt{2}\cos \frac{x}{2} \cos x = \frac{\operatorname{ctg}{\frac{x}{2}}+1}{4}.

Решение

Представим котангенс через синус и косинус: \operatorname{ctg}{\frac{x}{2}}=\frac{\cos{\frac{x}{2}}}{\sin{\frac{x}{2}}} и приведем обе части уравнения к общему знаменателю: 4\sqrt 2 \cos \frac{x}{2} \cos x \sin \frac{x}{2} =\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}\Longleftrightarrow 2\sqrt 2 \sin x\cos x=\sqrt 2 \sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\Longleftrightarrow\sin 2x -\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)=0. Воспользовавшись формулой разности синусов, получаем 2 sin\left( x-\frac{x}{4}-\frac{\pi}{8}\right)\cos \left(x +\frac{x}{4}+\frac{\pi}{8}\right)=0. Решаем простейшие тригонометрические уравнения и получаем ответ: \frac{\pi}{6}+\frac{4\pi n}{3} , n \in \mathbb{Z} ; \frac{3\pi}{10}+\frac{4\pi n}{5},~~n \in \mathbb{Z} .

Ответ x = \frac{\pi}{6}+\frac{4\pi n}{3} ; \frac{3\pi}{10}+\frac{4\pi n}{5}, \quad n \in \mathbb{Z} .

Задача 4.7.

Условие

Решите уравнение \sin 2x \cdot \sin 6x\cdot \cos 4x+\frac{1}{4}\cos 12 x=0.

Пример 4.8.

Условие

Решите уравнение 4\cos x \cos 2 x \cos 3 x=\cos 6x.

Решение

В этой задаче удобно умножить обе части уравнения на \sin x . Поскольку \sin x = 0 , или x = \pi n , не являются корнями уравнения, в чем легко убедиться подстановкой, при умножении мы приобретем посторонние корни. Их надо будет исключить из окончательного ответа. На идею использовать дополнительный \sin x наводит наличие \cos x \cos 2 x в левой части уравнения. Получаем \begin{array}{l}

4 (\sin x \cos x) \cos 2 x \cos 3 x=\sin x \cos 6x\Longleftrightarrow\\

\Longleftrightarrow 2 \sin 2x \cos 2x \cos 3x=\sin x \cos 6x\Longleftrightarrow \\

\Longleftrightarrow \sin 4x\cos 3x -\sin x \cos 6x=0\Longleftrightarrow \\

\Longleftrightarrow \frac{\sin x+\sin 7x}{2}+\frac{\sin 5x-\sin

7x}{2}=0\Longleftrightarrow \sin x+\sin 5x=0\Longleftrightarrow \vphantom{\int\limits_1^1}\\

\Longleftrightarrow 2\sin 3x\cos 2x=0.

\end{array} В итоге имеем две серии решений: \left[ \begin {array}{l}

\sin 3x=0,\\

\cos 2x=0,

\end{array}

\right.\Longleftrightarrow

\left[ \begin {array}{l}

x=\frac{\pi n}{3},~~ n \in \mathbb{Z}, \\

x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi m}{2},~~ m \in \mathbb{Z}.

\end{array}

\right. Осталось исключить посторонние корни, полученные за счет умножения обеих частей уравнения на \sin x . Действительно, при n=3k , k \in \mathbb{Z} выполняется \sin \frac{\pi n}{3}=0 , а такие значения аргумента не являются корнями уравнения.

Ответ x = \pm \frac{\pi}{3}+\pi n ; \frac{\pi}{4}+\frac{\pi m}{2}, \quad n, \ m \in \mathbb{Z}.

Задача 4.9.

Условие

Решите уравнение \cos x \cos 2 x \cos 4 x\cos 8x= \frac{1}{16}.

Решение

Умножим обе части уравнения на \sin x , отметив, что \sin x\ne 0 . \sin x\cos x \cos 2 x \cos 4 x\cos 8x= \frac{1}{16}\sin x\Longleftrightarrow \Longleftrightarrow\frac{1}{2}\sin 2x\cos 2 x \cos 4 x\cos 8x= \frac{1}{16}\sin x\Longleftrightarrow \Longleftrightarrow\frac{1}{4}\sin 4x \cos 4 x\cos 8x= \frac{1}{16}\sin x\Longleftrightarrow \Longleftrightarrow\frac{1}{8}\sin 8x \cos 8x= \frac{1}{16}\sin x \Longleftrightarrow \Longleftrightarrow\frac{1}{16}\sin 16x= \frac{1}{16}\sin x\Longleftrightarrow \sin x-\sin 16 x=0. Используя формулу для разности синусов, имеем уравнение 2 \sin \frac{15 x}{2}\cos\frac{17 x}{2}=0 . Решаем его и с учетом условия \sin x\ne 0 получаем ответ: x = \frac{\pi}{17}+\frac{2}{17}\pi k , где k \ne 17m+8, \quad k, \ m \in \mathbb{Z} ; \frac{2\pi}{15}n , где n\ne 15l, \quad n, \ l \in \mathbb{Z} .

Ответ x = \frac{\pi}{17}+\frac{2}{17}\pi k , где k \ne 17m+8, \quad k, \ m \in \mathbb{Z} ; \frac{2\pi}{15}n , где n\ne 15l, \quad n, \ l \in \mathbb{Z} .