Преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и обратно; группировка: Часть 3

Видео

Конспект

Пример 4.10.

Условие

Решите уравнение 1+\sin^3 x+\cos^3 x=\frac{3}{2} \sin 2x.

Решение

Для решения уравнения воспользуемся формулой суммы кубов и основным тригонометрическим тождеством. (Для забывчивых: a^3+b^3=(a+b) \left( a^2-ab+b^2 \right). Основное тригонометрическое тождество напоминать не будем!) \begin{array}{l}

1+\sin^3 x+\cos^3 x=\frac{3}{2} \sin 2x\Longleftrightarrow \\

1+(\sin x+\cos x) \left( 1 - \frac{1}{2} \sin 2x \right) = \frac{3}{2} \sin

2x.

\end{array} Введем новую переменную t=\sin x+\cos x, тогда \sin 2x= t^2-1. Следовательно, уравнение можно преобразовать к виду 1+t \left(1-\frac{1}{2}

t^2+\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{2}\cdot

t^2-\frac{3}{2}\Longleftrightarrow t^3+3t^2-3t-5=0. Одно из решений этого кубического уравнения легко найти методом подбора: t=-1 - корень уравнения. Далее методом деления уголком разложим кубический многочлен на множители: t^3+3t^2-3t-5=0\Longleftrightarrow(t+1) \left( t^2+2t-5 \right)=0. Решая квадратное уравнение и учитывая корень t=-1 , получаем три уравнения для того, чтобы найти x : \left[ \begin {array}{l}

\sin x+\cos x=-1,\\

\sin x+\cos x=-1-\sqrt{6}, \\

\sin x+\cos x=-1 +\sqrt{6}.

\end{array}

\right. Пользуясь методом вспомогательного аргумента, преобразуем \sin

x+\cos x к виду \sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right). Тогда \left[ \begin {array}{l}

\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{1}{\sqrt{2}},\\

\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)= \frac{-\sqrt{6}-1}{\sqrt{2}}, \vphantom{\int\limits_1^2}\\

\sin

\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{6}-1}{\sqrt{2}}.

\end{array}

\right. В силу того, что -1\leqslant\sin \alpha \leqslant1, для любого \alpha , решения в приведенной выше совокупности уравнений сущеcтвуют только для первого уравнения. Действительно, \frac{\sqrt{6}-1}{\sqrt{2}}>1, а \frac{-\sqrt{6}-1}{\sqrt{2}}<-1.

Решая оставшееся уравнение \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}, получаем \begin{array}{l}

x+\frac{\pi}{4}=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n,~~ n \in

\mathbb{Z}\Longleftrightarrow \\

\qquad x = - \frac{\pi}{4}+(-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n,~~ n \in

\mathbb{Z}. \vphantom{\int\limits^1}

\end{array} Рассматривая четные и нечетные n, можно сделать решение более наглядным.

Ответ x = -\frac{\pi}{2}+2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} (для четного n=2k ); x = \pi+2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} (для нечетного n=2k+1 ).

Задача 4.11.

Условие

Решите уравнение \cos^6 x-\sin^6 x= 2\cos ^2 {2x}.

Решение

\cos^6 x-\sin^6 x= 2\cos ^2 {2x}\Longleftrightarrow \Longleftrightarrow\left(\cos^2 x-\sin^2 x\right)\left(\cos^4 x+\sin^2 x\cos^2 x+\sin^4 x\right)= 2\cos ^2 {2x}\Longleftrightarrow \Longleftrightarrow\cos 2x\left(1-\sin^2 x\cos^2 x\right)-2\cos^2 2x=0\Longleftrightarrow \Longleftrightarrow\cos 2x\left(1-\frac{1}{4}\sin^2 2x-2\cos 2x\right)=0\Longleftrightarrow \frac{1}{4}\cos^2x-2\cos 2x+\frac{3}{4}=0. Решая квадратное уравнение относительно \cos 2x , а затем простейшее тригонометрическое уравнение, получаем ответ: \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} ;

\pm \frac{1}{2}\arccos\left(4-\sqrt{13}\right)+\pi k, \quad k \in

\mathbb{Z} .

Ответ x = \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2} ; \pm \frac{1}{2}\arccos\left(4-\sqrt{13}\right)+\pi k, \quad n, \ k \in \mathbb{Z} .