Тригонометрические функции со сложным аргументом: Часть 1

Видео

Конспект

Пример 4.12.

Условие

а) Решите уравнение 4 \sin x \cos^2 x - \sqrt 3 = \cos x \left( \sqrt 3 - 4 \sin x \right);

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left[ \frac{5\pi}{2}; 4\pi \right].

Решение

а) 4 \sin x \cos^2 x + 4 \sin x \cos x - \sqrt 3 - \sqrt 3 \cos x = 0

\Longleftrightarrow \Longleftrightarrow

4 \sin x \cos x (\cos x + 1) - \sqrt 3 (\cos x + 1) = 0

\Longleftrightarrow \Longleftrightarrow

\left( 2\sin 2x - \sqrt 3 \right) (\cos x + 1) = 0

\Longleftrightarrow

\left[\begin{array}{l}

\cos x = - 1,\\

\sin 2x = \frac{\sqrt 3}{2},

\end{array}\right.

\Longleftrightarrow \Longleftrightarrow

\left[\begin{array}{l}

x = \pi + 2\pi n, ~ n \in \mathbb{Z},\\

2x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, ~ n \in \mathbb{Z}, \\

2x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, ~ n \in \mathbb{Z},\\

\end{array}\right.

\Longleftrightarrow

\left[\begin{array}{l}

x = \pi + 2\pi n, ~ n \in \mathbb{Z},\\

x = \frac{\pi}{6} + \pi n, ~ n \in \mathbb{Z}, \\

x = \frac{\pi}{3} + \pi n, ~ n \in \mathbb{Z}.\\

\end{array}\right.

б)отбираем корни с помощью тригонометрического круга и получаем ответ.

Ответ а) x = \pi + 2 \pi n , \frac{\pi}{6} + \pi n , \frac{\pi}{3} + \pi n , n \in \mathbb{Z} ; б) 3\pi , \frac{10\pi}{3} , \frac{19\pi}{6} .

Задача 4.13.

Условие

а) Решите уравнение 4 \sin x \cos^2 x - 1 = 2 \cos x \left( \sin x - 1 \right);

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left[ 3\pi; \frac{9\pi}{2} \right].

Решение

а) 4 \sin x \cos^2 x - 1 = 2 \cos x \left( \sin x - 1 \right)\Longleftrightarrow \Longleftrightarrow 4\sin x\cos^2 x-2\cos x \sin x +2\cos x-1=0\Longleftrightarrow \Longleftrightarrow 2\cos x\sin x(2\cos x-1)=+2\cos x-1=0\Longleftrightarrow \Longleftrightarrow(2\cos x-1)(\sin 2x+1)=0. Решаем два тригонометрических уравнения \cos x=\frac{1}{2} и \sin x=-1 и получаем ответ: x=\pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi n , n \in \mathbb{Z} и x= - \frac{\pi}{4} + \pi n , n \in \mathbb{Z}.

б) С помощью тригонометрического круга отбираем решения, принадлежащие отрезку \left[ 3\pi; \frac{9\pi}{2} \right] .

Ответ а) x = \pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi n , - \frac{\pi}{4} + \pi n , n \in \mathbb{Z} ; б) \frac{11\pi}{3} , \frac{15\pi}{4} , \frac{13\pi}{3} .

Пример 4.14.

Условие

а) Решите уравнение 2\cos^3 x=\sqrt{3} \sin^2 x + \cos x;

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left[ - 3\pi; - \frac{3\pi}{2} \right].

Решение

а) Преобразуем данное уравнение, используя основное тригонометрическое тождество: 2\cos^3 x=\sqrt{3} \sin^2 x + \cos x \Longleftrightarrow \Longleftrightarrow2\cos^3 x=\sqrt{3} \left( 1 - \cos^2 x \right) + \cos x. Пусть t = \cos x , тогда t^3 + \frac{\sqrt 3}{2} t^2 - \frac{1}{2} t - \frac{\sqrt 3}{2} = 0. Среди множителей свободного члена подбором определяется корень этого уравнения t = \frac{\sqrt 3}{2} . Тогда кубический многочлен можно разложить на множители: \left( t - \frac{\sqrt 3}{2} \right) \left( t^2 + \sqrt 3 t + 1 \right) = 0. Так как дискриминант квадратного трехчлена отрицателен, то t = \frac{\sqrt 3}{2} — единственный корень данного уравнения. Таким образом, \cos x = \frac{\sqrt 3}{2} \Longleftrightarrow x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, ~k \in \mathbb{Z}.

б) В результате отбора получаем корни - \frac{13\pi}{6} , - \frac{11\pi}{6} .

Ответ а) x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} ; б) - \frac{13\pi}{6} , - \frac{11\pi}{6} .

Задача 4.15.

Условие

а) Решите уравнение 2\sin^3 x=\sqrt{2} \cos^2 x + 2\sin x;

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left[ - 4\pi; - \frac{5\pi}{2} \right].

Решение

2\sin^3 x=\sqrt{2} \cos^2 x + 2\sin x \Longleftrightarrow \Longleftrightarrow 2\sin x(\sin^2 x-1)=\sqrt 2 \cos^2 x\Longleftrightarrow \Longleftrightarrow\cos^2x \left(\sin x+\frac{\sqrt 2}{2}\right)=0. Отсюда две серии решений: x = \frac{\pi}{2} + \pi k, ~k \in \mathbb{Z} , x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, ~k \in \mathbb{Z} , x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, ~k \in \mathbb{Z} .

б) Решения, принадлежащие заданному промежутку, отбираем с помощью тригонометрического круга: x=- \frac{7\pi}{2} , x=- \frac{11\pi}{4} , x=- \frac{5\pi}{2} .

Ответ а) \frac{\pi}{2} + \pi k, ~k \in \mathbb{Z} , -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, ~k \in \mathbb{Z} , -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, ~k \in \mathbb{Z} ; б) - \frac{7\pi}{2} , - \frac{11\pi}{4} , - \frac{5\pi}{2} .