Тригонометрические функции со сложным аргументом: Часть 2

Видео

Конспект

Тригонометрические функции со сложным аргументом

Рассмотрим в качестве примера уравнение \cos\left(\pi \sin^{16} x \right)=-1 . Аргумент косинуса действительно сложный. Решим уравнение относительно \pi \sin^{16} x : \pi \sin^{16} x =\pi+2\pi n\Longleftrightarrow \sin^{16} x=1+2n. В общем случае n - все целые числа, но с учетом условия 0\leq \sin^{16} x \leq 1 получаем, что подходит только n=0 . Отсюда \sin^{16} x=1\Longleftrightarrow \sin x=\pm 1\Longleftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi k, ~k\in\mathbb{Z}.

Пример 5.1.

Условие

Решите уравнение 1 + \cos\left(x^2 + 1 \right) = \sin^2 \left(x^2 + 1 \right).

Решение

В этой задаче не возникает вопрос о способе решения: очевидно, что надо, воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством, выразить \sin^2 \left(x^2 + 1 \right) через косинус того же аргумента и свести уравнение к квадратному относительно \cos

\left(x^2 + 1 \right) . Имеем: \begin{array}{l}

1 + \cos \left(x^2 + 1 \right) = \sin^2 \left(x^2 + 1

\right)\Longleftrightarrow \\

\Longleftrightarrow \cos^2 \left(x^2 + 1 \right)+\cos

\left(x^2 + 1 \right)=0\Longleftrightarrow

\end{array} \Longleftrightarrow\left[ \begin{array} {l} \cos \left(x^2 + 1 \right)=0,\\

\cos \left(x^2 + 1 \right)=-1 \end{array} \right.

\Longleftrightarrow

\left[ \begin{array} {l} x^2 = \frac{\pi}{2}+\pi n-1,~~n \in

\mathbb{Z},\\

x^2 =\pi +2\pi n -1, ~~n \in

\mathbb{Z}.\end{array}\right. В последних уравнениях правая часть должна быть неотрицательна, так как x^2\geqslant 0 . Это условие определяет допустимые значения n .

Ответ x= \pm \sqrt{\frac{\pi}{2} - 1 + \pi n} , n \geqslant 0 , n \in \mathbb{Z} ; \pm \sqrt{\pi - 1 +2\pi n} , n \geqslant 0 , n \in \mathbb{Z} .

Задача 5.2.

Условие

Решите уравнение 2\sin^2 \left(\pi x^2 +5\pi x \right)-5 \cos \left(\pi x^2 +5\pi x \right) +1=0.