Тригонометрические функции со сложным аргументом: Часть 3

Видео

Конспект

Задача 5.3.

Условие

Решите уравнение 2\sin 3x\cdot \sin \left( 4x^2 \right) + \cos \left( 4x^2 + 3x \right) = 0.

Задача 5.4.

Условие

Найдите наименьший положительный корень уравнения \cos \left( \pi x^2 \right) = \cos \left( \pi \left( x^2 + 2x + 1 \right) \right).

Пример 5.5.

Условие

Решите уравнение 2 \sin^2 x + \sin \left( x^2 \right) = 1.

Решение

Если перенести 2 \sin^2 x в правую часть, то полученную разность можно преобразовать по формуле для косинуса двойного угла: \begin{array}{l}

2 \sin^2 x + \sin \left( x^2 \right) = 1\Longleftrightarrow

\sin \left( x^2 \right) = 1 - 2\sin^2 x \Longleftrightarrow \\

\Longleftrightarrow \sin \left( x^2 \right) = \cos 2x \Longleftrightarrow

\sin \left( x^2 \right) =\sin \left( \frac{\pi}{2}-2x

\right)\Longleftrightarrow \\

\Longleftrightarrow 2\sin\frac{x^2-

\frac{\pi}{2}+2x}{2}\cdot \cos \frac{x^2+ \frac{\pi}{2}-2x}{2}=0

\end{array} Произведение двух функций равно нулю, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. Найдем значения переменной, при которых 2\sin\frac{x^2- \frac{\pi}{2}+2x}{2}=0. Очевидно, что тогда \frac{x^2- \frac{\pi}{2}+2x}{2}=\pi n \Longleftrightarrow

x^2+2x-\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n \right)=0. Таким образом мы получили квадратное уравнение относительно x со свободным членом, зависящим от целого n . Записываем его решение стандартным способом, но при этом учитываем, что дискриминант должен быть неотрицательным: x=-1\pm \sqrt{1+\frac{\pi}{2}+2\pi n} при условии 1+ \frac{\pi}{2}+2\pi n\geqslant 0 .

Отсюда получаем первую серию решений: x=-1\pm \sqrt{1+ \frac{\pi}{2}+2\pi n}, \quad n\geqslant 0, \quad n \in \mathbb{Z}. Аналогично решается уравнение \cos \frac{x^2+

\frac{\pi}{2}-2x}{2}=0 .

Ответ x = \pm 1 \pm \sqrt{1 + \frac{\pi}{2} + 2\pi n},~~ n \geqslant 0, \quad n \in \mathbb{Z} .