Преобразование тригонометрических выражений: Часть 1

Видео

Конспект

Преобразование тригонометрических выражений

Пример 1.3.

Условие

Докажите тождество \cos 20^\circ \cdot\cos

70^ \circ=\frac{1}{2} \sin 40^\circ.

Доказательство

Преобразуем произведение косинусов в сумму: \cos 20^\circ \cdot \cos 70^ \circ=\frac{\cos(20^\circ -70^

\circ)+\cos(20^\circ+70^ \circ)}{2}=\frac{\cos 50^\circ+\cos

90^\circ}{2}= =\frac{\sin (90^\circ -

50^\circ)+0}{2}=\frac{1}{2} \sin 40^\circ . Эту задачу можно решить и другим способом. Учитывая, что 70^ \circ=90^ \circ-20^\circ , применим формулу приведения: \cos 20^\circ \cdot \cos 70^ \circ= \cos 20^\circ \cos \left(90^ \circ-20^\circ\right)

= \cos 20^\circ \sin 20^\circ=\frac{1}{2} \sin 40^\circ .

Ответ ч.т.д.

Задача 1.4.

Условие

Докажите тождество \sin 40^\circ \cdot

\sin 50^ \circ=\frac{1}{2} \cos 10^\circ .

Доказательство

Воспользуемся формулами приведения и синуса двойного угла: \sin 40^{\circ}\cdot\sin 50^{\circ}= \sin 40^{\circ}\cdot\sin \left(90^{\circ}-40^{\circ}\right)=\sin 40^{\circ}\cdot\cos 40^{\circ}= \frac{1}{2}\sin 80^{\circ}= \frac{1}{2}\sin \left(90^{\circ} -10^{\circ}\right)= \frac{1}{2}\cos 10^{\circ}.

Ответ ч.т.д.

Пример 1.5.

Условие

Докажите тождество \sin z+ 2\sin 3z+\sin 5z=4\sin 3z \cdot \cos^2 z.

Доказательство

Сначала нужно понять, какую из тригонометрических формул следует применить. Здесь стоит отметить, что хорошее знание формул ускоряет процесс выбора пути решения. Зная, что сумма синусов представляется в виде удвоенного произведения синуса полусуммы и косинуса полуразности аргументов, мы видим, что стоит объединить первое и третье слагаемые в левой части, так как после применения формулы появится \sin 3z . Тогда

\sin z+ 2\sin 3z+\sin 5z=2 \sin {\frac{z+5z}{2}}

\cos\left(\frac{z-5z}{2}\right)+2\sin 3z= =2\sin 3z(1+\cos

2z)=2\sin 3z\cdot 2 \cdot \cos^2 z.

В последнем переходе использовалась формула косинуса двойного угла.

Ответ ч.т.д.

Задача 1.6.

Условие

Докажите тождество \cos x+\sin x+\cos 3x +\sin 3x=2\sqrt{2}\cos x\sin \left(\frac{\pi}{4}+2x\right).

Доказательство

Сначала преобразуем левую часть, используя формулы суммы синусов и суммы косинусов: \cos x+\sin x+\cos 3x +\sin 3x= (\cos x+\cos 3x)+(\sin x+\sin 3x)= =2 \cos 2x\cos x+2\sin 2x \cos x=\cos x(\cos 2x+\sin 2x). Преобразуем левую часть с помощью формулы синуса суммы: 2\sqrt{2}\cos x\sin \left(\frac{\pi}{4}+2x\right)=2\sqrt 2\cos x( \sin \left(\frac{\pi}{4}\right)\cos 2x+\cos \left(\frac{\pi}{4}\right)\sin 2x)= =2\sqrt 2\cos x\frac{1}{\sqrt 2}(\cos 2x+\sin 2x)=\cos x(\cos 2x+\sin 2x). Левая и правая части порознь равны одному и тому же выражению, следовательно, они равны между собой.

Ответ ч.т.д.